Math

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数学的本质不是算术,而是抽象思维。

是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科

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如果看了此文你还不懂傅里叶变换,那就过来掐死我吧【完整版】

要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具,更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是,傅里叶分析的公式看起来太复杂了,所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说,这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程,不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。(您把教材写得好玩一点会死吗?会死吗?)所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析,有可能的话高中生都能看懂的那种。所以,不管读到这里的您从事何种工作,我保证您都能看懂,并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友,也希望不要看到会的地方就急忙往后翻,仔细读一定会有新的发现。

一、什么是频域
从我们出生,我们看到的世界都以时间贯穿,股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为,世间万物都在随着时间不停的改变,并且永远不会静止下来。但如果我告诉你,用另一种方法来观察世界的话,你会发现世界是永恒不变的,你会不会觉得我疯了?我没有疯,这个静止的世界就叫做频域。

先举一个公式上并非很恰当,但意义上再贴切不过的例子:

在你的理解中,一段音乐是什么呢?

这是我们对音乐最普遍的理解,一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说,音乐更直观的理解是这样的:

好的!下课,同学们再见。

是的,其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子,而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生,只是从来没意识到而已。

现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话:世界是永恒的。

将以上两图简化:

时域:

频域:

在时域,我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动,就如同一支股票的走势;而在频域,只有那一个永恒的音符。

所以

你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界,实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。

抱歉,这不是一句鸡汤文,而是黑板上确凿的公式:傅里叶同学告诉我们,任何周期函数,都可以看作是不同振幅,不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为,利用对不同琴键不同力度,不同时间点的敲击,可以组合出任何一首乐曲。

而贯穿时域与频域的方法之一,就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数(Fourier Serie)和傅里叶变换(Fourier Transformation),我们从简单的开始谈起。

二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱

还是举个栗子并且有图有真相才好理解。

如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来,你会相信吗?你不会,就像当年的我一样。但是看看下图:

第一幅图是一个郁闷的正弦波 cos(x)

第二幅图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)

第三幅图是 4 个发春的正弦波的叠加

第四幅图是 10 个便秘的正弦波的叠加

随着正弦波数量逐渐的增长,他们最终会叠加成一个标准的矩形,大家从中体会到了什么道理?

(只要努力,弯的都能掰直!)

随着叠加的递增,所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡,而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢?不幸的告诉大家,答案是无穷多个。(上帝:我能让你们猜着我?)

不仅仅是矩形,你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点,但是一旦接受了这样的设定,游戏就开始有意思起来了。

还是上图的正弦波累加成矩形波,我们换一个角度来看看:

在这几幅图中,最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和,也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来,而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了,每两个正弦波之间都还有一条直线,那并不是分割线,而是振幅为 0 的正弦波!也就是说,为了组成特殊的曲线,有些正弦波成分是不需要的。

这里,不同频率的正弦波我们成为频率分量。

好了,关键的地方来了!!

如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”,我们就有了构建频域的最基本单元。

对于我们最常见的有理数轴,数字“1”就是有理数轴的基本单元。

(好吧,数学称法为——基。在那个年代,这个字还没有其他奇怪的解释,后面还有正交基这样的词汇我会说吗?)

时域的基本单元就是“1 秒”,如果我们将一个角频率为\omega{0}的正弦波 cos(\omega{0}t)看作基础,那么频域的基本单元就是\omega_{0}。

有了“1”,还要有“0”才能构成世界,那么频域的“0”是什么呢?cos(0t)就是一个周期无限长的正弦波,也就是一条直线!所以在频域,0 频率也被称为直流分量,在傅里叶级数的叠加中,它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。

接下来,让我们回到初中,回忆一下已经死去的八戒,啊不,已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。

正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆

想看动图的同学请戳这里:

File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif

以及这里:

File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif

点出去的朋友不要被 wiki 拐跑了,wiki 写的哪有这里的文章这么没节操是不是。

介绍完了频域的基本组成单元,我们就可以看一看一个矩形波,在频域里的另一个模样了:

这是什么奇怪的东西?

这就是矩形波在频域的样子,是不是完全认不出来了?教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想,以及无穷的吐槽,其实教科书只要补一张图就足够了:频域图像,也就是俗称的频谱,就是——

再清楚一点:

可以发现,在频谱中,偶数项的振幅都是0,也就对应了图中的彩色直线。振幅为 0 的正弦波。

动图请戳:

File:Fourier series and transform.gif

老实说,在我学傅里叶变换时,维基的这个图还没有出现,那时我就想到了这种表达方法,而且,后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。

但是在讲相位谱之前,我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗?估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下,世界上每一个看似混乱的表象,实际都是一条时间轴上不规则的曲线,但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影,而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢?

我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布,幕布的后面有无数的齿轮,大齿轮带动小齿轮,小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演,却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转,永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话,这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的,当时想想似懂非懂,直到有一天我学到了傅里叶级数……

三、傅里叶级数(Fourier Series)的相位谱

上一章的关键词是:从侧面看。这一章的关键词是:从下面看

在这一章最开始,我想先回答很多人的一个问题:傅里叶分析究竟是干什么用的?这段相对比较枯燥,已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。

先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视,我们一定对一个词不陌生——频道。

频道频道,就是频率的通道,不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。

下面大家尝试一件事:

先在纸上画一个sin(x),不一定标准,意思差不多就行。不是很难吧。

好,接下去画一个sin(3x)+sin(5x)的图形。

别说标准不标准了,曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧?

好,画不出来不要紧,我把sin(3x)+sin(5x)的曲线给你,但是前提是你不知道这个曲线的方程式,现在需要你把sin(5x)给我从图里拿出去,看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。

但是在频域呢?则简单的很,无非就是几条竖线而已。

所以很多在时域看似不可能做到的数学操作,在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分,这在工程上称为滤波,是信号处理最重要的概念之一,只有在频域才能轻松的做到。

再说一个更重要,但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。(这段有点难度,看不懂的可以直接跳过这段)微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除,还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法,大学数学瞬间变小学算术有没有。

傅里叶分析当然还有其他更重要的用途,我们随着讲随着提。

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下面我们继续说相位谱:

通过时域到频域的变换,我们得到了一个从侧面看的频谱,但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少,而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中,振幅,频率,相位缺一不可,不同相位决定了波的位置,所以对于频域分析,仅仅有频谱(振幅谱)是不够的,我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢?我们看下图,这次为了避免图片太混论,我们用7个波叠加的图。

鉴于正弦波是周期的,我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰,而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢?为了看的更清楚,我们将红色的点投影到下平面,投影点我们用粉色点来表示。当然,这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离,并不是相位。

这里需要纠正一个概念:时间差并不是相位差。如果将全部周期看作2Pi或者360度的话,相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘2Pi,就得到了相位差。

在完整的立体图中,我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期,就得到了最下面的相位谱。所以,频谱是从侧面看,相位谱是从下面看。下次偷看女生裙底被发现的话,可以告诉她:“对不起,我只是想看看你的相位谱。”

注意到,相位谱中的相位除了0,就是Pi。因为cos(t+Pi)=-cos(t),所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数,这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是,由于cos(t+2Pi)=cos(t),所以相位差是周期的,pi和3pi,5pi,7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi,pi],所以图中的相位差均为Pi。

最后来一张大集合:

四、傅里叶变换(Fourier Tranformation)

相信通过前面三章,大家对频域以及傅里叶级数都有了一个全新的认识。但是文章在一开始关于钢琴琴谱的例子我曾说过,这个栗子是一个公式错误,但是概念典型的例子。所谓的公式错误在哪里呢?

傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的(离散的)正弦波,但是宇宙似乎并不是周期的。曾经在学数字信号处理的时候写过一首打油诗:

往昔连续非周期,
回忆周期不连续,
任你ZT、DFT,
还原不回去。
(请无视我渣一样的文学水平……)

在这个世界上,有的事情一期一会,永不再来,并且时间始终不曾停息地将那些刻骨铭心的往昔连续的标记在时间点上。但是这些事情往往又成为了我们格外宝贵的回忆,在我们大脑里隔一段时间就会周期性的蹦出来一下,可惜这些回忆都是零散的片段,往往只有最幸福的回忆,而平淡的回忆则逐渐被我们忘却。因为,往昔是一个连续的非周期信号,而回忆是一个周期离散信号。

是否有一种数学工具将连续非周期信号变换为周期离散信号呢?抱歉,真没有。

比如傅里叶级数,在时域是一个周期且连续的函数,而在频域是一个非周期离散的函数。这句话比较绕嘴,实在看着费事可以干脆回忆第一章的图片。

而在我们接下去要讲的傅里叶变换,则是将一个时域非周期的连续信号,转换为一个在频域非周期的连续信号。

算了,还是上一张图方便大家理解吧:

或者我们也可以换一个角度理解:傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。

所以说,钢琴谱其实并非一个连续的频谱,而是很多在时间上离散的频率,但是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。

因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢?

你见过大海么?

为了方便大家对比,我们这次从另一个角度来看频谱,还是傅里叶级数中用到最多的那幅图,我们从频率较高的方向看。

以上是离散谱,那么连续谱是什么样子呢?

尽情的发挥你的想象,想象这些离散的正弦波离得越来越近,逐渐变得连续……

直到变得像波涛起伏的大海:

很抱歉,为了能让这些波浪更清晰的看到,我没有选用正确的计算参数,而是选择了一些让图片更美观的参数,不然这图看起来就像屎一样了。

不过通过这样两幅图去比较,大家应该可以理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧?原来离散谱的叠加,变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。

不过,这个故事还没有讲完,接下去,我保证让你看到一幅比上图更美丽壮观的图片,但是这里需要介绍到一个数学工具才能然故事继续,这个工具就是——

五、宇宙耍帅第一公式:欧拉公式

虚数i这个概念大家在高中就接触过,但那时我们只知道它是-1 的平方根,可是它真正的意义是什么呢?

这里有一条数轴,在数轴上有一个红色的线段,它的长度是1。当它乘以 3 的时候,它的长度发生了变化,变成了蓝色的线段,而当它乘以-1 的时候,就变成了绿色的线段,或者说线段在数轴上围绕原点旋转了 180 度。

我们知道乘-1 其实就是乘了两次 i 使线段旋转了 180 度,那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了 90 度。

同时,我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面,也称复平面。这样我们就了解到,乘虚数i的一个功能——旋转。

现在,就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场——

这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析,但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于 Pi 的时候。

经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底,用这个公式来给妹子解释数学之美:”石榴姐你看,这个公式里既有自然底数e,自然数 1 和0,虚数i还有圆周率 pi,它是这么简洁,这么美丽啊!“但是姑娘们心里往往只有一句话:”臭屌丝……“

这个公式关键的作用,是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义:

欧拉公式所描绘的,是一个随着时间变化,在复平面上做圆周运动的点,随着时间的改变,在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分,也就是螺旋线在左侧的投影,就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。

关于复数更深的理解,大家可以参考:

复数的物理意义是什么?

这里不需要讲的太复杂,足够让大家理解后面的内容就可以了。

六、指数形式的傅里叶变换

有了欧拉公式的帮助,我们便知道:正弦波的叠加,也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢?

光波

高中时我们就学过,自然光是由不同颜色的光叠加而成的,而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验:

所以其实我们在很早就接触到了光的频谱,只是并没有了解频谱更重要的意义。

但不同的是,傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加,而是频率从 0 到无穷所有频率的组合。

这里,我们可以用两种方法来理解正弦波:

第一种前面已经讲过了,就是螺旋线在实轴的投影。

另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解:

e^{it}=cos (t) +i.sin (t)
e^{-it}=cos (t)-i.sin (t)

将以上两式相加再除2,得到:

这个式子可以怎么理解呢?

我们刚才讲过,e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线,那么e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半,因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了!

举个例子的话,就是极化方向不同的两束光波,磁场抵消,电场加倍。

这里,逆时针旋转的我们称为正频率,而顺时针旋转的我们称为负频率(注意不是复频率)。

好了,刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱,现在想一想,连续的螺旋线会是什么样子:

想象一下再往下翻:

是不是很漂亮?

你猜猜,这个图形在时域是什么样子?

哈哈,是不是觉得被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西。

顺便说一句,那个像大海螺一样的图,为了方便观看,我仅仅展示了其中正频率的部分,负频率的部分没有显示出来。

如果你认真去看,海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的,每一条螺旋线都有着不同的振幅(旋转半径),频率(旋转周期)以及相位。而将所有螺旋线连成平面,就是这幅海螺图了。

好了,讲到这里,相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了,我们最后用一张图来总结一下:

老实说,数学工具对于工科生和对于理科生来说,意义是完全不同的。工科生只要理解了,会用,会查,就足够了。但是很多高校却将这些重要的数学课程教给数学系的老师去教。这样就出现一个问题,数学老师讲得天花乱坠,又是推理又是证明,但是学生心里就只有一句话:学这货到底干嘛用的?

缺少了目标的教育是彻底的失败。

在开始学习一门数学工具的时候,学生完全不知道这个工具的作用,现实涵义。而教材上有只有晦涩难懂,定语就二十几个字的概念以及看了就眼晕的公式。能学出兴趣来就怪了!

好在我很幸运,遇到了大连海事大学的吴楠老师。他的课全程来看是两条线索,

一条从上而下,一条从下而上。

先将本门课程的意义,然后指出这门课程中会遇到哪样的问题,让学生知道自己学习的某种知识在现实中扮演的角色。然后再从基础讲起,梳理知识树,直到延伸到另一条线索中提出的问题,完美的衔接在一起!

这样的教学模式,我想才是大学里应该出现的。

本文只是介绍了一种对傅里叶分析新颖的理解方法,对于求学,还是要踏踏实实弄清楚公式和概念,学习,真的没有捷径。但至少通过本文,我希望可以让这条漫长的路变得有意思一些。

最后,祝大家都能在学习中找到乐趣

华罗庚的《统筹方法》

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统筹学研究如何在实现整体目标的全过程中施行统筹管理的有关理论、模型、方法和手段,是数学与社会科学交叉的一个学科分支。从我接触最多的项目管理来说,统筹方法就是一种安排工作进程的数学方法,通过各种手段改变原本固有的工作模式,从而压缩项目进度、优化资源配置、提升工作效率。最常用的基本模型是网络图,重点概念是关键路径和时差,在关键路径上缩短时间,在非关键路径上精简资源。

生活也是如此。我们所拥有的最宝贵的资源就是我们的注意力,我们的关键路径就是成长,要把有限的注意力放在我们的成长上。找到自己最深爱并能带给自己长远价值的事,作为重心投入我们的注意力,才会产生事半功倍的效果。很多人既努力又勤奋,却没找到自己的关键路径或选择回避关键路径。想尽快喝到茶,不在“洗开水壶→烧开水”上做文章、下功夫,却花大量精力去洗茶杯、拿茶叶。看似忙忙碌碌、勤勤恳恳,但收效甚微。

数学与生活

目录

第1章数的幼年期  1
1.1从未开化到文明  1
1.2数的黎明  2
1.3一一对应  4
1.4分割而不变  5
1.5数的语言  6
1.6数词的发展  7
1.7手指计数器  10
1.8金字塔  11
1.9二十进制  14
1.10十二进制  16
1.11六十进制  17
1.12定位与0的祖先  17

第2章离散量和连续量  19
2.1多少个和多少  19
2.2用单位测量  20
2.3连续量的表示方法  22
2.4分数的意义  25
2.5折叠和扩展  27
2.6分数的比较  29
2.7分数的加法和减法  30
2.8乘法的扩大解释  32
2.9乘减少,除增大  34
2.10小数的意义  37
2.11分数和小数  38
2.12循环小数和分数  41
2.13非循环小数  43
2.14加减和乘除  44
2.15数学和现实世界  47

第3章数的反义词  49
3.1正和负  49
3.2新数的名称  50
3.3负的符号  52
3.4正和负的加法  53
3.5减法运算  54
3.6司汤达的疑问  55
3.7乘法运算规则  56
3.8与实际的联系  58
3.9有理数的域  60
3.10代数和61

第4章代数——灵活的算数  63
4.1代名词的算术  63
4.2代数的文法·交换律  65
4.3结合律  66
4.4分配律  68
4.5方程  70
4.6代数的语源  73
4.7龟鹤算  73
4.8一次方程  75
4.9联立方程  78
4.10矩阵和向量  80
4.11矩阵的计算  84
4.12联立方程和矩阵  88
4.13奇妙的代数  89

第5章图形的科学  94
5.1两部长期畅销书  94
5.2分析的方法  95
5.3分析和综合  96
5.4连接  98
5.5全等三角形  100
5.6公理  101
5.7泰勒斯定理  103
5.8驴桥定理  105
5.9条件和结论  107
5.10对称性  109
5.11定理的联系  112
5.12三边全等定理  114
5.13捉老鼠的逻辑——反证法  116
5.14脊背重合  117
5.15垂直于平面的直线  119
5.16平行线  120
5.17三角形的内角  123
5.18驴都知道  124
5.19驴解决不了的问题  127
5.20倒推法  129
5.21与三点等距离的点  130

第6章圆的世界  133
6.1直线和圆的世界  133
6.2神的难题  136
6.3圆的四边形化  138
6.4圆周角不变定理  140
6.5面积  144
6.6毕达哥拉斯定理  148
6.7长度计算法  151
6.8从触觉到视觉  153
6.9相似和比例  156
6.10相似的条件  158
6.11五角星  162
6.12五角星的秘密  164
6.13有理数普遍存在  166
6.14无理数普遍存在  168
6.15实数  169

第7章复数——最后的乐章  171
7.1二次方程  171
7.2二次方程的解法  173
7.3先天不足的数  175
7.4复数  177
7.5加法和减法  179
7.6乘法和除法  181
7.7正多边形  185
7.8正五边形  188
7.9高斯的发观  190
7.10三次方程  191
7.11卡尔达诺公式  193
7.12数的进化  197
7.13四则逆运算  198
7.14代数学的基本定理  200

第8章数的魔术与科学  202
8.1万物都是数  202
8.2数的魔术  204
8.3恒等式  205
8.4恒等式的计算法  210
8.5求约数的方法  211
8.6公倍数与公约数  214
8.7素数  217
8.8分解的唯一性  219
8.9费马定理  221
8.10循环小数  222

第9章变化的语言——函数  224
9.1变与不变  224
9.2变数和函数  226
9.3正比例  229
9.4鹦鹉的计算方法  230
9.5变化的形式  231
9.6各种类型的函数  232
9.7图表  234
9.8函数的图表  235
9.9解析几何学  239
9.10直线  240
9.11相交和结合  242
9.12贝祖定理  244
9.13圆锥曲线  246
9.14二次曲线  248

第10章无穷的算术——极限  251
10.1运动和无穷  251
10.2无穷级数  253
10.3无穷悖论  255
10.4没有答案的加法  257
10.5一种空想的游戏  259
10.6柯西的收敛条件  263
10.7收敛和加减乘除  266
10.8规则的数列  269
10.9帕斯卡三角形  271
10.10数学归纳法  273
10.11高斯分布  276
10.12阶差  277

第11章伸缩与旋转  281
11.1老鼠算  281
11.22倍的故事  283
11.3数砂子  284
11.4负的指数  285
11.5分数的指数  286
11.6指数函数  288
11.7对数  290
11.8连续的复利法  292
11.9旋转  294
11.10正弦曲线和余弦曲线  297
11.11极坐标  299
11.12正弦定理和余弦定理  300
11.13海伦公式  302
11.14永远曲线  304
11.15欧拉公式  306
11.16加法定理  308

第12章分析的方法——微分  310
12.1望远镜和显微镜  310
12.2思考的显微镜  311
12.3微分  314
12.4流量和流率  316
12.5指数函数的微分  317
12.6函数的函数  322
12.7反函数  323
12.8函数的函数的微分  325
12.9内插法  329
12.10泰勒级数  333
12.11最大最小  335
12.12最小原理  339

第13章综合的方法——积分  342
13.1分析与综合  342
13.2德谟克里特方法  344
13.3球的表面积·阿基米德方法  346
13.4双曲线所围成的面积  348
13.5定积分  351
13.6卡瓦列里原理  354
13.7基本定理  357
13.8不定积分  361
13.9积分变换  364
13.10酒桶的体积  364
13.11科学和艺术  367
13.12各种各样的地图  367
13.13摆线围成的面积  371
13.14曲线的长度  372

第14章微观世界——微分方程  375
14.1逐步解决法  375
14.2方向场  377
14.3折线法  379
14.4落体法则  381
14.5线性微分方程  383
14.6振动  386
14.7衰减振动  388
14.8从开普勒到牛顿  389
14.9积分定律和微分定律  393
14.10拉普拉斯的魔法394
14.11锁链的曲线395
附录  399
参考文献  401
后记  402

我们应该要怎样的数学教育和学习呢?

这几年,《××学与生活》这样的图书挺多的,可能是跟《心理学与生活》的风,还有《社会学与生活》……名字接地气,吸引人,快速拉近与读者的距离。《数学与生活》,当初买此书时,就是因为这个名字。但随便翻读几页就发现,与生活什么关系都没有。还好这是本好书,新颖有趣,有很多新知识。

从作者原序可知,这本书本名是《数学入门》,是日本著名数学教育家远山启上世纪六十年代出的书。因为入学考试、教学方式的缘故,数学被歪曲变形,让很多人讨厌。作者有感于此,要通过此书,把数学朴实、有趣的一面呈现给读者,减少人们的反感,也希望增加对数学的喜爱。

作为一名小学数学教师,所学专业并非数学,教学过程中,对于教材里的很多数学知识,自己当然是掌握的,并能熟练运用,但是对它们的更完整的认识却非常缺乏。就是知其然,不知其所以然,内心常常感觉羞愧。

这本数学书中这方面考虑得很周到,内容上有算数、几何、代数、三角等初等数学知识,也有微积分、微分方程等高等数学的知识。作者非常注重不同数学领域、不同数学知识之间的联系,而且是既有知识之间逻辑推理的联系,也有历史发展的先后承继的联系,这一点非常让人感动。国内数学教材几乎不讲历史发展,只把数学最后的面貌给人看,给人刻板生硬的感觉。

自以为最熟悉的初等数学,于我不会再有惊喜了吧,但这本书又让我大开眼界,原来自己还是很无知。数的产生、单位问题、+-×÷四则运算、图形几何等等,背后竟还有那么多东西,我竟然从来都没有想过;曾经学过的数学书里根本没有,从前的老师也根本没教过!

这本书让我深刻意识到,必需教给学生一些数学历史的知识,告诉它们一千年、两千年甚至更久远以前的那些聪明人是怎样获得数学知识,又是怎样使用数学知识的。

高中和大学时代,我似乎得了“数学焦虑症”,面对满纸满页的字母符号,头脑变得迟钝、麻木了,不能理解它们的意义——这就彻底完了。抽象思维跟不上,我的数学永远到不了高等程度。从那时至今,每每遇到高等数学或者微积分,就内心生畏,犹豫退缩。然而这本书,让我第一次感觉高等数学可亲近,可以理解,很有意思,也认识到了高等数学的威力无穷。

远山启非常擅长在每章节知识前设置“导入”这种环节。漂亮的导入,就已经使教学成功了一半!写作也是这样吧。我想,正是因为那些完美的导入,对问题的朴实、生动的叙述,以及恰到好处的说明比如为什么使用这样那样的符号,这本书才如此精彩,即使微分、积分、微分方程也让我着迷,不避酷暑难捱一气读完。

数学史(上下)

A History of Mathematics

内容简介

《数学史》1968年首次出版,1991年出了修订版,虽都距今甚远,但作为数学史料,并不过时。这正如数学的特征:只有在数学中,不存在重大的修正——只存在拓展。例如一旦希腊人发展出了演绎法,就他们所做的事情而言,他们是正确的,永远正确。欧几里得并不完备,他的工作得到了巨大的扩展,但只是扩展而不需要改正。他的定理,所有定理,到今天都是有效的。

本书把数学几千年的发展浓缩为这本编年史中。从希腊人到哥德尔,数学一直辉煌灿烂,名人辈出,观念的潮涨潮落到处清晰可见。而且,尽管追踪的是欧洲数学的发展,但作者并没有忽视中国文明、印度文明和阿拉伯文明的贡献。毫无疑问,这本书是(而且在很长时期内将会一直是)一部经典的关于数学及创造这门学科的数学家们的单卷本历史著作。既有学术性,又有可读性。

我们为书中的史实、观念、精美插图以及引领我们走过数学发展长河的大师们所折服,遂决定把它引入中国,以飨中国热爱数学、崇尚科学精神的读者。

目录

上册目录
前言1
修订版序1
初版序1
第1章起源
数的概念/早期的基数/数字语言与计算的起源/几何学的起源/
第2章埃及
早期记录/象形文字的符号/阿美斯纸草书/单分数/
算术运算/代数题/几何问题/三角比/莫斯科纸草书/埃及数学的不足/
第3章美索不达米亚
楔形文字记录/位置记数法/以六十为底的分数/基本运算/代数问题/二次方程/三次方程/毕达哥拉斯三元数组/多边形的面积/作为应用数学的几何学/美索不达米亚数学的不足/
第4章爱奥尼亚与毕达哥拉斯学派
希腊的起源/米利都的泰勒斯/萨摩斯岛的毕达哥拉斯/
毕达哥拉斯学派的五角星/数字神秘主义/算术与宇宙论/图形数字/比例/雅典记数法/爱奥尼亚记数法/
算术与逻辑/
第5章英雄时代
活动中心/克拉左美奈的阿那克萨哥拉/三大著名难题/
求月牙形面积/连比/厄利斯城的希庇亚斯/塔伦图姆的菲洛劳斯和阿契塔/倍立方//不可公度性/黄金分割/芝诺悖论/演绎推理/几何代数/阿伯德拉的德谟克利特/
第6章柏拉图和亚里士多德时代
文科七艺/苏格拉底/柏拉图多面体/昔兰尼的西奥多
罗斯/柏拉图的算术与几何/分析学的起源/尼多斯的欧多克索斯/穷举法/数学天文学/门奈赫莫斯/立方体加倍/狄诺斯特拉图与化圆为方皮坦尼的奥托利科斯/亚里士多德/古希腊时期的终结/
第7章亚历山大城的欧几里得
《几何原本》的作者/其他作品/《几何原本》的目的/定义与公设/第一卷的范围/几何代数/第三卷和第四卷/比例理论/数论/素数与完全数/不可公度性/立体几何/伪书/《几何原本》的影响/
第8章叙拉古的数学
叙拉古的围攻/杠杆原理/流体静力学原理/《数沙术》/
圆的度量/三等分角/抛物线段的面积/抛物线体的体积/球截体/《论球和圆柱》/《引理集》/半正多面体和三角学/《方法》/球的体积/《方法》的复原/
第9章阿波罗尼奥斯
失传的作品/恢复失传作品/阿波罗尼奥斯问题/圆与
周转圆/《圆锥曲线论》/圆锥截面的名称/双叶圆锥/基本属性/共轭直径/切线与调和分割/三线和四线轨迹/相交的圆锥曲线/最大与最小,切线与正交线/相似圆锥曲线/圆锥曲线的焦点/坐标的使用/
第10章希腊的三角学与测量学
早期的三角学/萨摩斯岛的阿里斯塔克斯/昔兰尼的埃拉
托斯特尼/尼西亚的希帕克斯/亚历山大城的梅涅劳斯/托勒密的《至大论》/360度圆/三角函数表的构建/托勒密的天文学/托勒密的其他作品/光学与占星术/亚历山大城的海伦/最短距离原则/希腊数学的衰落/
第11章希腊数学的复兴和衰微
应用数学/亚历山大城的丢番图/尼科马库斯/丢番
图的《算术》/丢番图难题/丢番图在代数学中的位置/亚历山大城的帕普斯/《数学汇编》/帕普斯的定理/帕普斯问题/《解析宝典》/帕普斯—古尔丁定理/亚历山大城的普罗克洛斯/波伊提乌/亚历山大时期的终结/《希腊诗文选》/公元六世纪的拜占庭数学/
第12章中国和印度
最古老的文献/《九章算术》/幻方/筹数/算盘
和十进制小数/π值/代数与霍纳法/十三世纪的数学/算术三角形/印度的早期数学/《绳法经》/《悉昙多》/阿利耶毗陀/印度的数字/代表零的符号/印度的三角学/印度的乘法/长除法/婆罗摩笈多/婆罗摩笈多公式/不定方程/婆什迦罗/《丽罗娃提》/拉马努金/
第13章阿拉伯的霸权
阿拉伯的征服/智慧宫/《代数学》/二次方程/
代数之父/几何基础/代数问题/一个源自海伦的问题/图尔克/塔比·伊本-库拉/阿拉伯数字/阿拉伯的三角学/阿卜尔·维法与凯拉吉/阿尔比鲁尼与阿尔哈曾/奥马·海亚姆/平行公设/纳西尔丁/阿尔·卡西/
第14章中世纪的欧洲
从亚洲到欧洲/拜占庭的数学/黑暗时代/阿尔昆与
吉尔伯特/翻译的世纪/印度—阿拉伯数字的传播/《算盘书》/斐波那契数列/三次方程的解/数论与几何/约丹努斯/诺瓦拉的坎帕努斯/十三世纪的学术/中世纪的运动学/托马斯·布雷德沃丁/尼科尔·奥雷斯姆/形相的纬度/无穷级数/中世纪学术的衰微/
第15章文艺复兴时期
人文主义/库萨的尼古拉/雷格蒙塔努斯/代数在几何
学中的应用/一个过渡人物/尼古拉斯·丘凯的《算术三篇》/卢卡·帕乔利的《概要》/列奥纳多·达芬奇/德国代数/卡尔达诺的《大衍术》/三次方程的解法/费拉里的四次方程的解法/不可化简的三次方程和复数/罗伯特·雷科德/尼古拉·哥白尼/乔治·约希姆·雷蒂库斯/彼得吕斯·拉米斯/邦别利的《代数学》/约翰尼斯·维尔纳/透视理论/制图学/
第16章现代数学的前奏
弗朗索瓦·韦达/参数的概念/解析技术/根与系数
之间的关系/托马斯·哈里奥特与威廉·奥特雷德/又见霍纳法/三角学与积化和差/方程的三角解法/约翰·纳皮尔/对数的发明/亨利·布里格斯/乔伯斯特·布尔基/应用数学与十进制小数/代数符号表示法/伽利略/π值/复原阿波罗尼奥斯的《论相切》/无穷小分析/约翰·开普勒/伽利略的《两门新科学》/伽利略与无穷/博纳文图拉·卡瓦列里/螺线与抛物线/
下册目录
第17章费马与笛卡尔的时代
当年最重要的数学家/《方法论》/解析几何的发明/
几何的算术化/几何代数/曲线的分类/求曲线的长度/圆锥曲线的识别/法线与切线/笛卡尔的几何概念/费马的轨迹/高维解析几何/费马的微分法/费马的积分法/圣文森特的格列戈里/数论/费马定理/罗伯瓦尔/托里拆利/新曲线/德扎格/
射影几何/帕斯卡尔/概率/摆线/
第18章过渡时期
菲利普·德·拉海尔/乔治·莫尔/彼得罗·门戈利/
弗兰斯·范·斯霍滕/让·德·维特/约翰·许德/勒内·弗朗索瓦·德·斯吕塞/摆钟/渐伸线与渐屈线/约翰·沃利斯/《圆锥曲线论》/《无穷算术》/克里斯托弗·雷恩/沃利斯公式/詹姆斯·格列戈里/格列戈里级数/麦凯特尔与布龙克尔/巴罗的切线方法/
第19章牛顿与莱布尼茨
牛顿的早期作品/二项式定理/无穷级数/《流数法》/
《原理》/莱布尼茨与调和三角形/微分三角形与无穷级数/微分学/行列式、符号表示法和虚数/逻辑代数/平方反比定律/圆锥曲线定理/光学与曲线/极坐标及其他坐标/牛顿法与牛顿平行四边形/《广义算术》/晚年/
第20章伯努利时代
伯努利的家庭/对数螺线/概率与无穷级数/洛必达法则/
指数微积分/负数的对数/圣彼得堡悖论/亚伯拉罕·棣莫弗/棣莫弗定理/罗杰·科茨/詹姆斯·斯特林/科林·麦克劳林/泰勒级数/《分析学家》论战/克莱姆法则/契恩豪斯变换/立体解析几何/
米歇尔·罗尔与皮埃尔·瓦利农/意大利的数学/平行公设/发散级数/
第21章欧拉时代
欧拉的生平/符号/分析学的基础/无穷级数/
收敛级数与发散级数/达朗贝尔的生平/欧拉恒等式/
达朗贝尔与极限/微分方程/克莱罗兄弟/黎卡提父子/概率论/数论/教科书/综合几何/立体解析几何/朗伯与平行公设/裴蜀与消元法/
第22章法国大革命时期的数学
革命的时代/最重要的数学家/1789年之前的出版物/
拉格朗日与行列式/度量衡委员会/孔多塞论教育/作为行政管理者和教师的蒙日/画法几何与解析几何/教科书/拉克鲁瓦论解析几何/胜利的组织者/微积分与几何的形而上学/《位置几何》/截线/勒让德的《几何原理》/椭圆积分/数论/函数理论/变分法/拉格朗日乘数/拉普拉斯与概率论/天体力学与算子/政治变化/
第23章高斯与柯西的时代
十九世纪综述/高斯:早期作品/数论/《算术研究》
所受到的对待/高斯对天文学的贡献/高斯的中年/微分几何的肇始/高斯的晚期工作/19世纪20年代的巴黎/柯西/高斯与柯西比较/非欧几何/阿贝尔与雅可比/伽罗华/扩散/英国和普鲁士的改革/
第24章几何学
蒙日学派/射影几何:蓬斯莱与沙勒/综合度量几何学:
施泰纳/综合非度量几何学:施陶特/解析几何/黎曼几何/高维空间/费利克斯·克莱因/后雷曼时代的代数几何/
第25章分析学
十九世纪中叶的柏林和哥廷根/黎曼在哥廷根/几何学中的
数学物理学/说英语国家的数学物理学/魏尔斯特拉斯和他的学生们/分析学的算术化/康托尔与戴德金/法国的分析学/
第26章代数学
引言/英国的代数学和函数的运算微积分/布尔与逻辑
代数/德·摩根/哈密顿/格拉斯曼与《线性扩张论》/凯莱与西尔维斯特/线性结合代数/代数几何/代数整数和算术整数/算术公理/
第27章庞加莱与希尔伯特
世纪之交综览/庞加莱/数学物理学及其他应用/拓扑学
/其他领域和遗产/希尔伯特/不变量理论/希尔伯特的《代数数域理论》/几何学的基础/希尔伯特问题/希尔伯特与分析学/华林问题与希尔伯特1909年之后的工作/
第28章二十世纪的方方面面
概览/积分与测度/泛函分析与一般拓扑学/代数学/
微分几何与张量分析/1930年代与第二次世界大战/概率论/同调代数与范畴论/布尔巴基/逻辑与计算/未来展望/
参考文献
总书目
人名、地名译名索引
…(展开全部)

数学家是用来崇敬的——《数学史》编辑笔记

很久没有像今天这样,当编辑完作品的最后一页的时候,充满依恋,就像跟亲人分别。我们结识了9个月,并朝夕相处了3个月。3个月里,我用尽了我全部的娱乐时间,甚至舍不得用2个小时看一场电影,以及用半天时间去参加一个沙龙。每天近两个小时在地铁上,只要有座,便与它为伴,打开文件夹,左边是原文,右边的译文,拿着笔,地铁前行的隆隆声消失了,我与数字家们生活在一起。

一直奉行着“为人唯诚,为事唯简,为己唯静”处世理念。如果世界上可以把一类人归为“为事唯简”的规则中的话,非数学家莫属。他们的表达是如此简洁美丽,可以用几个字母、一个图形表达事物的本质。他们是最酷的群体,他们在枯燥的符号、图形里活得如此兴趣昂然。数学家出成果大多非常年轻,这不得不让你怀疑,难道,数学一定是天赋,是与生俱来的,是上帝的眷顾。

当看到伯努利家族那占满半页的家族表,超过半数的成员对数学有超凡贡献的时候,不禁唏嘘,他们是一群脑容量超过常人的怪物吗?有意思的是,他们如此痴迷于数学,却对将跟随自己一生的名字毫不在意,伯努利家族3代人就有3个尼古拉斯•伯努利、3个让•伯努利,父亲与侄子、堂兄弟之间,都叫尼古拉斯,只得用尼古拉斯一世(父亲)、二世(儿子)、三世(侄子)来区别;本人、儿子、孙子都叫让,只得用让一世、让二世、让三世来区分。还有雅克一世二世,丹尼尔一世二世。起个其他名字很难吗?我超级不理解。他们都像陈景润一样枯燥吗?哪里!

他们是如此激情四射,伽罗华的生命停止在20岁,不是死于疾病与贫困,而是死于决斗——为一个女孩子决斗。决斗的前夜,预感到死神临近,伽罗华在给一位名叫谢瓦利埃的朋友的信里,匆忙写下了一些笔记,向子孙后代解释他的数学发现。他请求把这封信发表在《百科评论》(Revue Encyclopédique)上,并表示,希望雅可比和高斯对这些定理的重要性发表他们的意见。

他们有常人的喜怒哀乐,甚至强烈的嫉妒心。让一世•伯努利与丹尼尔一世•伯努利,多可爱的一对父子,父亲与儿子同时参加法兰西科学院举办的一个竞赛,儿子得奖了,却被父亲赶出了家门,因为父亲没有得上,他嫉妒儿子的才华。读到这里,我试图用我全部的理解力去解读这个父亲,也没能理解。那是你的儿子啊,他身上带着你的基因,难道不值得骄傲吗?

还有个超级牛的数学家,他叫拉扎尔•卡诺,他的一个儿子萨迪•卡诺是发明了卡诺循环的著名物理学家,另一个儿子伊波利特•卡诺任教育部长,并成为终身参议员。一个孙子也叫萨迪•卡诺(和儿子萨迪•卡诺是叔侄关系),后来成为法国总统(1887—1894);另一个孙子阿道夫•卡诺,成为法兰西科学院院士,化学家。
看来,数学家生来不是叫人来理解的,他们是叫人来崇敬的。

崇敬,正如钢琴之于乐噐、足球之于球类运动那样,哲学和数学是于人类全部科学的最高殿堂,我觉得学科应当如此分类:哲学、数学、其他学科。

数学是至高无上的。
别了,我亲爱的《数学史》,再见,我们可爱的数字家们。

数学史笔记

origin

把圆周分为360度,每度60分,每分60秒,1小时60分,1分60秒的记法,也是来自古巴比伦.

在古巴比伦或古埃及数学中,虽然出现了一些令人信服的数表和许多重要的公式,但数学还只是作为一种用来处理日常生活中遇到的计算与度量问题的工具或者方法。

其所给出的仅仅是“如此去做”,而基本没有涉及到“为什么要这样做”,这标志着他们的数学还远远地没有进入理性思维的阶段.

Greece

(为什么繁盛于希腊?)

公元前8世纪前后,希腊进入奴隶制形成时期,产生了许多奴隶制城邦,并在东西地中海及黑海一带兴建了许多殖民城市,这些城市加强了希腊与海外各地的联系。

公元前6世纪开始,希腊出现了欧洲文化的第一个高峰,希腊数学就是其中的最重要的成就之一.

人们通常将公元前6世纪至公元前3世纪称为古典时期,公元前3世纪至公元6世纪称为亚历山大时期。其中希腊数学古典时期的的众多数学学派的工作将数学研究推到了一个新阶段。

Thales

泰勒斯(Thales,公元前636—公元前546年)诞生于爱奥尼亚的海滨城市米利都;

泰勒斯早年是一个精明的商人,青壮年时代积累了足够的财富,使他后半生能够从事游历与研究;

下述五个命题的发现是应归功于泰勒斯的:

(1)圆被任一直径二等分;

(2)等腰三角形的两底角相等;

(3)两条直线相交,对顶角相等;

(4)两个三角形,有两个角和一条边对应相等,则这两个三角形全等;

(5) (泰勒斯定理)内接于半圆的角必为直角.

Pythagoras

约公元前572~约公元前497)是古希腊哲学家、数学家、天文家和音乐理论家.出生于爱琴海中的萨摩斯岛,在意大利半岛南部组织了一个集政治、宗教和学术研究于一体的秘密会社,这就是著名的毕达哥拉斯学派.在学术方面,这个学派主要致力于哲学和数学的研究.

世界上的万事万物及其运动变化规律都可以用整数或者整数之比表示出来.

Zeno

约公元前490-430年,针对当时对无限、运动和连续等人们认识模糊不清的概念,提出了45个违背常理的悖论,把这些矛盾暴露出来,在希腊数学界引起了巨大的震动.其中关于运动的三个悖论尤为引人注目

(1)二分说

(2)阿基里斯追龟说

(3)飞箭静止说

三大尺规作图不能问题

2000多年来,三大问题的研究,花费了人们的大量心血.直至1831年,法国数学家万采尔(Vantzal, 1814~1848)首先证明倍立方问题和三等分任意角问题不能用尺规作图来解决,接着德国数学家林德曼(Lindemann, 1852~1939)于1882年又证明了π的超越性,因而否定了用尺规化圆为方的可能性,这三大问题才彻底得以解决.

我们今天所熟悉的阿拉伯数字源于印度 由花拉子密传播

整个希腊数学的消亡是由于罗马人的入侵所导致的.

公元前146年,罗马人征服了希腊本土.

公元前47年,凯撒纵火焚毁停泊在亚历山大港的埃及船队,大火延及该城,并无情地将图书馆两个半世纪以来收集的藏书毁于一炬.

罗马统治者推崇的基督教的传播,迅速地以强烈的宗教狂热淹没了丰富的科学想象,使希腊数学蒙受了更大的灾难,查封学园、禁止学习研究数学,使欧洲数学进入了漫长的黑暗时期

China

九九歌 春秋战国时期 公元前700年

后期墨家认为同样高度叫做“平”,《墨子·经上》说:“平,同高也。”而惠施(名家)反驳说:“天与地卑(“卑”是接近的意思),山与泽平。”因为测量的人站的位置不同,所看到的高低就不一样。站在远处看,天和地几乎是接近的;站在山顶上的湖泊边沿看,山和泽是平的。 《庄子》记载惠施曾提出:“至大无外谓之大一,至小无外谓之小一”. 还记载有:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”. “飞鸟之影,未尝动也;镞矢之疾,而有不行不止时” .

这些可以说与古希腊的芝诺悖论具有异曲同工之妙,也是世界数学史早期最光辉的数学思想之一.

九章算术

方田:平面图形的地亩面积算法及分数的运算法则

粟米:20种粮食及其成品如稻、米、麦 、面、饭等之间的兑换比率

少广:开平方、开立方

商功:立体图形的体积算法内容涉及筑城、修堤、开渠、粮垛等施工方面的计算问题.

均输:配分比例问题按人口多少、路途远近、谷物贵贱等条件,平均缴纳赋税或摊派徭役等实际问题,这很类似于条件极值问题

盈不足:盈亏问题的解法.盈不足的典型问题是这样的:若干人共买一物,若每人出a1钱,则多出b1钱;若 每人出a2(a2<a1)钱,则又不足b2钱,求人数与物价.《九章算术》给出的方法 相当于公式:

人数=(b1+b2)/(a1-a2).

物价=(a1b2+a2b1)/(a1-a2).

从明代起,中国封建社会开始衰落,资本主义因素开始慢慢地萌发了,但由于根深蒂固的封建帝王统治的抑制,使资本主义的幼芽未能顺利得以发展.统治阶级为了维护其统治地位,规定科举制必须采用 “八股”文体,使得大批的知识分子“皓首穷经”,而鄙夷天文、数学等专门学问为“奇技淫巧”,加上生产水平低下与数学理论高度发展相脱节 的实际状况,致使中国数学由宋元时期的蓬勃发展而突然走向衰落.

Renaissance

6世纪 穆罕默德 穆斯林 阿拉伯人侵略拜占庭罗马 巴格达成为新的亚历山大城

教皇奥古斯丁:“从圣经以外获得的任何知识,如果它是有害的,理应加以排斥,如果它是有益的,那么它就包含在圣经里了.”数学受到最大排斥,常常把它与异教徒的星相术混为一谈,因此在这个时期的法典中甚至明文禁止学习与研究数学,罗马皇帝狄奥多西法典:“任何人不得向占卜人与数学家请教.”6世纪查士丁尼法典则:“彻底禁止应受到谴责的数学技艺.”

12世纪拉丁欧洲人(西罗马帝国)西欧 翻译阿拉伯语数学

13世纪黑死病 14世纪英法百年战争

15世纪 君士坦丁堡东罗马帝国陷落 难民逃至意大利

17世纪(暨希腊时代后又一个数学鼎盛期)

韦达 现代数学之父 律师

笛卡尔 解析几何之父 现代哲学之父

费马 律师 业余数学家之王 费马大定理 1994

哥德马赫猜想 陈景润取得进展 未完全证明

四色定理 1976解决

牛顿

引力定律不是牛顿第一个发现的 但是牛顿的数学背景使得他是第一个完整证明的

莱布尼茨

与牛顿的微积分创始人之争 分别发现 dy/dx

虚数是一种两栖动物,处于存在于不存在之间

伯努利家族

莱布尼茨弟子,连续出过十余位数学家;洛必达法则;Binomial Distribution

欧拉

伯努利弟子,13个小孩

现代数学符号F(x) ln sigma abc ABC

法国大革命

1789 卡诺组织军队,孙子成为法兰斯第三共和国第四任总统

被放逐期间《微积分的形而上学思考》

拉普拉斯在自己作品中赞扬每一个当权的政权 后人赞佩数学 鄙视政治立场

一个人的精神比才华更重要

柯西 傅里叶 高斯 黎曼

19世纪

康托尔 集合论超穷数理论创始人 关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的 精神病院去世

刘维尔 数论 超越数 不可能满足任何整系数代数方程

布尔 逻辑代数

《爱丽丝漫游仙境》作者刘易斯卡罗尔是 克利福德代数 单手引体向上

庞加莱 希尔伯特

20世纪

冯诺依曼

微积分的历程——从牛顿到勒贝格

The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue,1E

目录

前言 1
第1章 牛顿 7
广义二项展开式 8
逆级数 11
《分析学》中求面积的法则 14
牛顿的正弦级数推导 18
参考文献 22
第2章 莱布尼茨 24
变换定理 27
莱布尼茨级数 35
参考文献 40
第3章 伯努利兄弟 41
雅各布和调和级数 43
雅各布和他的垛积级数 47
约翰和xx 52
参考文献 57
第4章 欧拉 59
欧拉的一个微分 60
欧拉的一个积分 62
π的欧拉估值 63
引人注目的求和 67
伽玛函数 72
参考文献 76
第5章 第一次波折 78
参考文献 86
第6章 柯西 87
极限、连续性和导数 88
介值定理 91
中值定理 94
积分和微积分基本定理 97
两个收敛判别法 102
参考文献 107
第7章 黎曼 109
狄利克雷函数 112
黎曼积分 114
黎曼病态函数 121
黎曼重排定理 126
参考文献 129
第8章 刘维尔 131
代数数与超越数 132
刘维尔不等式 136
刘维尔超越数 141
参考文献 145
第9章 魏尔斯特拉斯 146
回到基本问题 148
四个重要定理 158
魏尔斯特拉斯病态函数 160
参考文献 170
第10章 第二次波折 171
参考文献 181
第11章 康托尔 182
实数的完备性 183
区间的不可数性 186
再论超越数的存在 190
参考文献 195
第12章 沃尔泰拉 196
沃尔泰拉病态函数 198
汉克尔的函数分类 200
病态函数的限度 204
参考文献 210
第13章 贝尔 211
无处稠密集 212
贝尔分类定理 215
若干应用 219
贝尔的函数分类 225
参考文献 228
第14章 勒贝格 230
回归黎曼积分 231
零测度 232
集合的测度 239
勒贝格积分 243
参考文献 250
后记 252

了解一门学科的历史才能真正了解这门学科

国内微积分课程的编排实在是糟糕,不和实践紧密结合这点先不说,课程的教学目的给人的感觉就是为了教微积分而教微积分。两个学期的高等数学学下来,除了会用课本上的方法求一些很变态的积分,就几乎什么都不会了。更糟糕的是,我学完了两个学期的微积分以后,根本不知道多项式的极限和微积分到底有什么关系。脑袋里对极限最深刻的印象就是考试里面经常出现的那几个不定型。

这本书从微积分的萌芽之前开始介绍,各个时代人们所遇到的问题,人们为什么要建立微积分,以及微积分是如何建立起来的。和课本上给人的印象不同,课本上给人的印象是我们要从一个函数来求它的积分,积分是通过微分来定义的。而从微积分的发展历史来看,积分是人们最早认识到的,微分才是我们要求的东西——我们需要求一个函数,使这个函数的积分是某个已知函数。

课本上介绍的那堆病态函数有什么用?课本上也就仅仅说这个函数的名字是病态函数,但是这函数为什么叫做病态函数,以及这个函数有什么用,课本只字不提。看了这本书,才知道病态函数就是人们在建立微积分过程中遇到的各种猎奇的函数,这些函数不断挑战人们当时刚刚初步建立起来的微积分理论,让人们不断修微积分的理论,于是才有了我们现在严密的微积分理论。

课本无法告诉你的贯穿于微积分发展历程中的数学思想,这本书可以告诉你。虽然看了这本书,你还是无法在考试的时候解出试卷上的微积分,但是你绝对可以解决在实际生活中遇到的微积分问题。我的意思是,因为你真正地掌握了微积分这们技术,你才可以轻松地使用它,解决你想要解决的问题(即使你遇到的方程可能比试卷上的题目更奇葩),而不是将其做为应付考试的工具而已。

e的故事——一个常数的传奇

内容简介

银行存款利息、向日葵种子的分布以及圣路易斯大拱门的外形,因为神秘的数字e而有了千丝万缕的联系。e的背后隐藏着无数鲜为人知的传奇,牛顿与莱布尼茨到底谁才是微积分的¬¬发明者?二人的宿怨在科学界引起了怎样的轩然大波?伯努利家族缘何在科学领域称霸了一百多年?数学家约翰伯努利与音乐家巴赫这两位貌似毫无交集的人物会面时是什么情景?听Maor讲述e的故事,一一解开你心中的谜团。

这里包罗万象,既描绘了数学、物理、生物、音乐、金融等众多领域中与e密切相关的现象,也展示了关于e的著名公式、定理和法则。这些趣味横生的历史故事和缜密严谨的数学论断交织在一起,让你从全新的角度去审视这一熟悉又陌生的常数,更让人于走马观花之间了解几千年来数学发展的一个侧影。

代数的历史——人类对未知量的不舍追踪

Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra

内容简介

《代数的历史:人类对未知量的不舍追踪》内容简介:生活在四千年前的古巴比伦人的成就缘何可以与文艺复兴时期的意大利相媲美?丢番图和花拉子米到底谁才是真正的代数之父?虚数是历经了怎样的磨难才被人广为接受的?牛顿和高斯的伟大体现在何处?旷世奇才格罗申迪克是如何书写他的传奇人生的?

来吧,走进《代数的历史》,和Derbyshire一起穿过历史迷雾,体味代数这门最纯净、最严苛的智力学科之非凡魅力,揭开未知量x的前世今生,探寻现实世界最深层、最本质的秘密!

目录

数学知识 数值和多项式
第一部分 未知量
第1章 四千年前
第2章 代数之父
第3章 还原与化简
数学知识 三次方程和四次方程
第4章 商业与竞争
第5章 放飞想象
第二部分 泛算术
第6章 狮子的爪子
数学知识 单位根
第7章 攻克五次方程
数学知识 向量空间与代数
第8章 向第四维的跳跃
第9章 项的长方形排列
第10章 维多利亚的多雾小岛
第三部分 抽象层次
数学知识 域论
第11章 黎明的枪声
第12章 环小姐
数学知识 代数几何
第13章 几何复苏
第14章 无所不在的代数
第15章 从泛算术到泛代数
插图说明

数学之美 (第二版)

math20180725.jpg

目录

第二版出版说明
序言1
序言2
前言
第1 章 文字和语言 vs 数字和信息
第2 章 自然语言处理 — 从规则到统计
第3 章 统计语言模型
第4 章 谈谈分词
第5 章 隐含马尔可夫模型
第6 章 信息的度量和作用
第7 章 贾里尼克和现代语言处理
第8 章 简单之美 — 布尔代数和搜索引擎
第9 章 图论和网络爬虫
第10章 PageRank — Google的民主表决式网页排名技术
第11章 如何确定网页和查询的相关性
第12章 有限状态机和动态规划 — 地图与本地
第13章 Google AK-47 的设计者 — 阿米特· 辛格博士
第14章 余弦定理和新闻的分类
第15章 矩阵运算和文本处理中的两个分类问题
第16章 信息指纹及其应用
第17章 由电视剧《暗算》所想到的 — 谈谈密码学的数学原理
第18章 闪光的不一定是金子 — 谈谈搜索引擎
第19章 谈谈数学模型的重要性
第20章 不要把鸡蛋放到一个篮子里 — 谈谈最
第21章 拼音输入法的数学原理
第22章 自然语言处理的教父马库斯和他的优秀弟子们
第23章 布隆过滤器
第24章 马尔可夫链的扩展 — 贝叶斯网络
第25章 条件随机场、文法分析及其他
第26章 维特比和他的维特比算法
第27章 上帝的算法 — 期望最大化算法
第28章 逻辑回归和搜索广告
第29章 各个击破算法和Google 云计算的基础
第30章 Google 大脑和人工神经网络
第31章 大数据的威力——谈谈数据的重要性
附录
后记
索引

《数学之美》的由来

很多朋友问我,为什么我会想起来写这个系列?虽然谷歌黑板报的本意是希望我从一个Google 科学家的角度介绍一下Google 的技术,但是我更希望让做工程的年轻人看到在信息技术行业正确的做事情方法。无论是在美国还是在中国,我经常看到大部分软件工程师在一个未知领域都是从直观感觉出发,用“凑”的方法来解决问题,在中国尤其如此。这样的做法说得不好听,就是山寨。我刚到Google 时,发现Google 早期的一些算法(比如拼写纠错)根本没有系统的模型和理论基础, 就是用的词组或者词的二元组凑出来的。这些方法比没有做任何事情是好一些, 但是几乎没有完善和提高的可能, 而且使得程序的逻辑非常混乱。Google 成长壮大后, 渐渐有实力从世界上最好的大学招理论基础非常好的工程师,工程的正确性得到了很好保证。2006 年后, 我指导了三四个美国名校的研究生, 把Google 的拼写纠错模型用隐含马尔可夫模型的框架统一起来。在那几年里,Google 对几乎所有项目的程序进行了重写,山寨的东西基本上看不到了。但是在其它公司里,包括在美国一些还挂着高科技头衔的二流IT 公司里, 这种情况依然很普遍。在国内, 创业的小公司做事情重量不重质,倒也无可厚非;但是,上了市、有了钱甚至利润成为了在世界上也数得上的公司,做事情依然如此,就让人觉得境界低。另一方面,这些公司在盖大楼和装修高管的办公室上很快超越了世界上的跨国公司。这就像一个人有了钱,穿金戴银,内在的学问和修养却没有提高一样。因此我写这些东西也是希望我们这些IT 公司的工程主管们能够带领自己的部门提高工程的水平。

(无意中)采用错误的模型在特定的场合,或许勉强有效,就比如我们介绍的地心说一样,毕竟也使用了几千年。但是,错误的模型终究是远离真理的,其负面影响会渐渐表现出来。其结果不仅仅在于远离了正确的结果,而且常常把原本简单的事情弄得很复杂,以至于最终要崩溃(地心说对于日心说就是如此)。

正确的理论和方法有一个被认识的过程。任何事物都有它的发展规律,而这些规律都是可以认识的,在信息科学领域也不例外。当我们认识了规律后,就应该自觉地在工作中遵循规律而不要违背规律。香农博士就是揭示了信息科学发展规律的人,它的信息论在很大程度上指出了我们今天信息处理和通信根本的规律性。这里,通信包括人类的一切交流,包括自然语言处理的所有应用。而当初我写这个系列博客,就是要介绍这些信息处理的规律性。

当然,将数学的东西讲清楚让外行都能读懂是一件非常难的事情。我自认为自己是一个能深入浅出的人,但是当我第一次将所写的几章送给非工程专业的读者阅读时,他们还是表示非常费劲。因此,我后来下了很多功夫将这个系列写得浅显易懂,这样很多细节只能省略,我并不满意。离开Google 后,写作起来约束相对少了些,因此这次改写成实体书时,可以多介绍一些细节。同时,由于篇幅不受约束,我也可以多提供一些细节,以照顾一下工程背景较好的、愿意了解细节的读者。当我完成这本实体书时,我发现全书的内容完全重写了一遍。

对于非IT 的从业人员,我也希望这本书能够成为他们茶余饭后消遣的科普读物。透过对IT 规律性的认识,读者可以举一反三地总结、学习、认识和自觉使用自己工作中的规律性,这样有助于将自己的境界提升一个层次。

对我这次写作帮助最大的是两本书和一个节目。我在初中时读了《从1到无穷大》1,介绍宇宙的科普读物。作者G•伽莫夫(George Gamow)是美籍俄裔著名物理学家,他花了很多时间创作科普读物,影响了一代人。第二本书是物理学家霍金的《时间简史》,霍金把深奥的宇宙学原理用最简单的语言讲出来,让这部科普读物称为全球的畅销书。影响我的一个节目是美国主持人摩根•弗里曼的“穿越虫洞”。我的写作大多是在飞机上完成的,写作累了便看看电视节目,一次碰巧找到“穿越虫洞”这个节目。弗里曼把当今最前沿的物理学做成了用每个人都能懂的节目。节目中有包括很多诺贝尔奖在内的一流物理学家和数学家介绍他们的工作,这些人有一个共同的本领,就是把他们自己领域最深奥的道理用很简单的比喻介绍清楚。我想这可能是他们成为世界顶级科学家的原因,他们一方面对自己的领域非常精通,同时他们能把道理讲清楚。世界上最好的学者总是可以深入浅出把大道理讲给外行听,而不是故弄玄虚把简单的问题复杂化。因此,在写这本书的时候,我自己一直以霍金、伽莫夫为榜样,力图将数学之美展现给所有的,而不仅仅是专业的读者。为了方便读者利用茶前饭后的时间阅读,我尽可能地做到每一章之间相对独立自成一体,这样读起来不会太累,我知道让大部分读者从头到尾读一本以数学为主的书是几乎不可能的。

——《浪潮之巅》与《数学之美》作者 吴军

一本信息领域大学生必读的好书

大学三年,聊天时有时会听到一些奇怪的言论,比如:“现在学的这些东西有什么用,大学怎么都教这些过时的东西。”诚然大陆学校有时会教授一些过时的东西,譬如听说有的学校还教授vb和fortran这样的语言,但我知道这话常常针对数学、通信原理、数电、模电这类的基础理论的,背后的潜台词是:“工作以后都是用现成的芯片、工具,这些几十年上百年历史的理论能有什么用。”说这样话的人通常都没有任何学习的觉悟,除了为对付考试啃一啃课本,他们从来不愿意去翻任何知识性书籍,也从来不会好奇他们学的这些基础理论到底有什么作用,他们恨不能直接学一门类似于“嵌入式开发”这种实用的技术,然后最好这门“技术”能一劳永逸管一辈子饭碗呢 。

每一次我都想反驳,可我又没法反驳,因为我也说不清楚这些基础理论到底是如何服务于具体技术的,而它们在实践中又为什么非常重要。所以当读到吴军博士的这本《数学之美》时,我发现这本书解答了我和很多学IT的本科学生长期以来的困惑,连续两天手不释卷读完,深深被书里精彩的内容吸引住了。

个人感觉这本书非常适合信息领域大三、大四阶段的学生阅读,读得早了,会因为有些课程没有学过不能读懂或者读来没有感觉,读得迟了恐怕就会感慨怎么没有早点读到这本书。

我们本科阶段学习的那些”线代、统计、图论、通信原理时常常会怀疑这些理论到底有什么用呢?读了这本书算是长了见识,原来这些理论还可以这么玩。比如计算机自然语言处理可以抽象成非常简单的通信模型和统计学模型,然后一个简单条件概率公式加上一个马尔可夫假设就可以做到机器翻译和语音识别……比如简单的布尔代数就是支撑搜索引擎索引的数学基础,一个漂亮的page rank矩阵乘法迭代加上一个非常符合直觉却有信息论支撑的TF-IDF公式,就可以非常大程度地改善搜索结果的质量……比如余弦公式竟然能够用来做新闻分类!?线性代数除了可以用来解方程组,那些莫名其妙不知干嘛用的特征值、奇异值居然可以用作内容聚合分类!?

读了这本书之后才真心信服,原来这些数学知识除了用作科学家们的头脑游戏以外,确实有非常令人惊叹的实际应用。得益于吴军博士深入浅出的宏观讲解,和恰到好处的细节展现,读者很容易能感受到,数学纵使在计算和证明上有许多繁琐巧妙的细节,但数学模型本身却是高度简洁高度具有概括力的,一些看似毫不相关的领域居然可以用同一个简单的数学模型来构建(比如新闻分类背后的余弦定理)——我想,这大概就是所谓的数学之“美”了吧,它是纷繁技术细节背后最曼妙的骨架,没有一丝累赘,简洁、和谐、有力。

读这本书的过程也是数学建模思维训练的一种训练,相信很多参加过数模训练的同学都会同意数模训练在思考实际问题时带来的好处。阅读本书,更能体会到数学建模思维在工程实践领域中的重要作用。作者在书中数次提到,在工程领域有时候靠瞎凑也能够得到一个凑合可用的结果,但长期来看维护这些瞎凑搭起来的东西代价非常巨大,不仅结构混乱丑陋,而且由于说不清瞎凑背后的道理,在以后的修改维护时也根本无从下手;反之,如果从更高的数学模型层面去抽象问题,去寻找一个正确的模型框架,就可以有条理地慢慢去填充细节,逐渐达到完善。这样的解决方案不仅能达到需求,而且结构清晰道理明了,便于日后的维护和修正(这大概也是数学之美的另一种表现吧)。作者在后记里是这样说明他的写作意图的:“我更希望让做工程的年轻人看到信息技术行业正确的做事情的方法。”作为一个写代码和做实验常常没有厘清框架思路,在实验中用凑来得出正确结果的学生码农,读到这些教诲时,我感到十分汗颜。

关于用数学建模思维去宏观把握问题的研究方向,书中的一个例子让人印象深刻:作者介绍了用信息论的模型来思考如何改善搜索引擎的结果,即改善搜索结果的本质是引入更多的信息,所以在信息不够的时候应该做的是如何多问一问用户,除此之外在细节处玩弄数学公式和算法是不可能有效果的,而更糟的结果是引入人为的干预——它在满足部分用户的需求同时,必然使其他用户得到更糟糕的结果。

这本书同时也是一本科研方法论的启蒙读物。本科阶段,我们接触科研的机会并不多,即使参加了一些大学生科研立项活动,在这方面也不足以得到足够的视野。这本书在介绍信息技术背后数学原理的同时,也讲了很多技术背后科学家们的故事以及他们从事科学研究的方式方法,故事生动翔实富有教益,是一本优秀的科研方法论读物。书中富有启发的故事有不少,比如:通信领域出身的贾里尼克教授采用通信领域的模型方法打破了传统计科基于规则的思维,为自然语言处理建立了统计学模型的框架,这个故事给人的启发是跨界思维和学科融合非常重要,因此很多知识即使看上去没有直接用途,也不要轻下结论,广泛地联系和运用所学的知识,并且用数学思维去抽象和提炼它们,找寻共通点,常常会有了不起的创造。而辛格博士和托勒密地心说的故事,告诉我们简单的模型常常有效和快捷,而非常复杂的模型不仅繁琐,而且常常是走错了方向。

“道”是做事的原理和原则,“术”是具体的做事方法。吴军博士在书里的一段话使我深感认同:“这本书的目的是讲道而不是讲术。很多具体的搜索技术很快会从独门绝技到普及,再到落伍,追求术的人一辈子工作很辛苦。只有掌握了搜索的本质和精髓才能永远游刃有余。”回到这篇评论的开头,很多人希望躲开抽象和看似玄虚无用的道,直接掌握一门一劳永逸的术——可惜这样的捷径却是没有的,如果有的话,大概就是认真地去学习体会那些道,然后再用道来指导这些不断变动似乎永远难以追上潮流的术吧。

嗯,学好数学,天天向上。

程序员的数学

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目录

目录
第1章   0 的故事
——无即是有
本章学习内容    2
小学一年级的回忆    2
10 进制计数法  3
什么是10   进制计数法  3
分解2503  3
2 进制计数法  4
什么是2   进制计数法  4
分解1100  5
基数转换    6
计算机中为什么采用2   进制计数法  8
按位计数法  10
什么是按位计数法  10
不使用按位计数法的罗马数字  11
指数法则  12
10 的0 次方是什么  12
10-1 是什么  13
规则的扩展  14
对20 进行思考  14
2-1 是什么  15
0 所起的作用  16
0 的作用:占位  16
0 的作用:统一标准,简化规则  16
日常生活中的0  17
人类的极限和构造的发现  18
重温历史进程  18
为了超越人类的极限  19
本章小结  20
第2章   逻辑
——真与假的二元世界
本章学习内容  22
为何逻辑如此重要  22
逻辑是消除歧义的工具  22
致对逻辑持否定意见的读者  23
乘车费用问题——兼顾完整性和排他性    23
车费规则  23
命题及其真假  24
有没有“遗漏”  24
有没有“重复”  25
画一根数轴辅助思考  26
注意边界值  28
兼顾完整性和排他性  28
使用if   语句分解问题  28
逻辑的基本是两个分支  29
建立复杂命题  30
逻辑非——不是A  30
逻辑与—— A 并且B  32
逻辑或—— A 或者B  34
异或—— A 或者B(但不都满足)  37
相等—— A 和B 等  39
蕴涵——若A 则 B  40
囊括所有了吗  45
德?摩根定律  46
德?摩根定律是什么  46
对偶性  47
卡诺图  48
二灯游戏  48
首先借助逻辑表达式进行思考  49
学习使用卡诺图  50
三灯游戏  52
包含未定义的逻辑  54
带条件的逻辑与(&&)  55
带条件的逻辑或(||)  57
三值逻辑中的否定(!)  58
三值逻辑的德?摩根定律  58
囊括所有了吗  59
本章小结  60
第3   章   余数
——周期性和分组
本章学习内容  64
星期数的思考题(1)  64
思考题(100 天以后是星期几)  64
思考题答案  64
运用余数思考  65
余数的力量——将较大的数字除一次就能分组  65
星期数的思考题(2)  66
思考题(10100  天以后是星期几)  66
提示:可以直接计算吗  67
思考题答案  67
发现规律  68
直观地把握规律  68
乘方的思考题  70
思考题(1234567987654321)  70
提示:通过试算找出规律  70
思考题答案  70
回顾:规律和余数的关系  71
通过黑白棋通信  71
思考题  71
提示  73
思考题答案  73
奇偶校验  73
奇偶校验位将数字分为两个集合  74
寻找恋人的思考题  74
思考题( 寻找恋人)  74
提示:先试算较小的数  74
思考题答案  75
回顾  75
铺设草席的思考题  77
思考题(在房间里铺设草席)  77
提示:先计算一下草席数  77
思考题答案  78
回顾  78
一笔画的思考题  79
思考题(哥尼斯堡七桥问题)  79
提示:试算一下  80
提示:考虑简化一下  81
提示:考虑入口和出口  82
思考题答案  82
奇偶校验  85
本章小结  86
第4   章   数学归纳法
——如何征服无穷数列
本章学习内容  88
高斯求和  88
思考题(存钱罐里的钱)  88
思考一下  89
小高斯的解答  89
讨论一下小高斯的解答  89
归纳  91
数学归纳法——   如何征服无穷数列  91
0 以上的整数的断言  92
高斯的断言  93
什么是数学归纳法  93
试着征服无穷数列  94
用数学归纳法证明高斯的断言  95
求出奇数的和   ——   数学归纳法实例  96
奇数的和  96
通过数学归纳法证明  97
图形化说明  98
黑白棋思考题   ——   错误的数学归纳法  99
思考题(黑白棋子的颜色)  99
提示:不要为图所惑  100
思考题答案    100
编程和数学归纳法  101
通过循环表示数学归纳法  101
循环不变式    103
本章小结  107
第5章   排列组合
——解决计数问题的方法
本章学习内容  110
计数——与整数的对应关系  110
何谓计数  110
注意“遗漏”和“重复”  111
植树问题——不要忘记0  111
植树问题思考题  111
加法法则  115
加法法则  115
乘法法则  117
乘法法则  117
置换  121
置换  121
归纳一下  122
思考题(扑克牌的摆法)  123
排列  125
排列  125
归纳一下  126
树形图——能够认清本质吗  128
组合  130
组合  130
归纳一下  131
置换、排列、组合的关系  132
思考题练习    134
重复组合  134
也要善于运用逻辑  136
本章小结  139
第6章   递归
——自己定义自己
本章学习内容  142
汉诺塔  142
思考题(汉诺塔)  142
提示:先从小汉诺塔着手  143
思考题答案    146
求出解析式    148
解出汉诺塔的程序  149
找出递归结构  150
再谈阶乘  151
阶乘的递归定义  152
思考题(和的定义)  153
递归和归纳    153
斐波那契数列  154
思考题(不断繁殖的动物)  154
斐波那契数列  157
帕斯卡三角形  159
什么是帕斯卡三角形  159
递归定义组合数  162
组合的数学理论解释  163
递归图形  165
以递归形式画树  165
实际作图  166
谢尔平斯基三角形  167
本章小结  168
第7章   指数爆炸
——如何解决复杂问题
本章学习内容  172
什么是指数爆炸    172
思考题(折纸问题)  172
指数爆炸  175
倍数游戏——指数爆炸引发的难题  176
程序的设置选项  176
不能认为是“有限的”就不假思索  178
二分法查找——利用指数爆炸进行查找  178
寻找犯人的思考题  178
提示:先思考人数较少的情况  179
思考题答案    180
找出递归结构以及递推公式  181
二分法查找和指数爆炸  183
对数——掌握指数爆炸的工具  184
什么是对数    184
对数和乘方的关系  184
以2 为底的对数  186
以2 为底的对数练习  186
对数图表  187
指数法则和对数  188
对数和计算尺  190
密码——利用指数爆炸加密  193
暴力破解法    193
字长和安全性的关系  193
如何处理指数爆炸  195
理解问题空间的大小  195
四种处理方法  195
本章小结  196
第8章   不可解问题
——不可解的数、无法编写的程序
本章学习内容  200
反证法  200
什么是反证法  200
质数思考题    202
反证法的注意事项  203
可数  203
什么是可数    203
可数集合的例子  204
有没有不可数的集合  206
对角论证法    207
所有整数数列的集合是不可数的  207
所有实数的集合是不可数的  211
所有函数的集合也是不可数的  212
不可解问题    213
什么是不可解问题  213
存在不可解问题  214
思考题    215
停机问题  215
停机  216
处理程序的程序  217
什么是停机问题  217
停机问题的证明  219
写给尚未理解的读者  222
不可解问题有很多  223
本章小结  224
第9章   什么是程序员的数学
——总结篇
本章学习内容  226
何为解决问题  229
认清模式,进行抽象化  229
由不擅长催生出的智慧  229
幻想法则  230
程序员的数学  231

程序员的数学2——概率统计

目录

第1部分 聊聊概率这件事
第1章 概率的定义  3
1.1 概率的数学定义  3
1.2 三扇门(蒙提霍尔问题) ——飞艇视角  4
1.2.1 蒙提霍尔问题  5
1.2.2 正确答案与常见错误  6
1.2.3 以飞艇视角表述  6
1.3 三元组(Ω, F, P) ——上帝视角  9
1.4 随机变量  13
1.5 概率分布  17
1.6 适于实际使用的简记方式  19
1.6.1 随机变量的表示方法  19
1.6.2 概率的表示方法  20
1.7 Ω是幕后角色  21
1.7.1 不必在意Ω究竟是什么  21
1.7.2 Ω的习惯处理方式  22
1.7.3 不含Ω(不含上帝视角)的概率论  23
1.8 一些注意事项  23
1.8.1 想做什么  23
1.8.2 因为是面积……  24
1.8.3 解释  26
第2章 多个随机变量之间的关系  29
2.1 各县的土地使用情况(面积计算的预热)  29
2.1.1 不同县、不同用途的统计(联合概率与边缘概率的预热)  30
2.1.2 特定县、特定用途的比例(条件概率的预热)  31
2.1.3 倒推比例(贝叶斯公式的预热)  32
2.1.4 比例相同的情况(独立性的预热)  34
2.1.5 预热结束  38
2.2 联合概率与边缘概率  38
2.2.1 两个随机变量  38
2.2.2 三个随机变量  41
2.3 条件概率  42
2.3.1 条件概率的定义  42
2.3.2 联合分布、边缘分布与条件分布的关系  45
2.3.3 即使条件中使用的不是等号也一样适用  50
2.3.4 三个或更多的随机变量  51
2.4 贝叶斯公式  55
2.4.1 问题设置  56
2.4.2 贝叶斯的作图曲  57
2.4.3 贝叶斯公式  61
2.5 独立性  63
2.5.1 事件的独立性(定义)  64
2.5.2 事件的独立性(等价表述)  67
2.5.3 随机变量的独立性  70
2.5.4 三个或更多随机变量的独立性(需多加注意)  73
第3章 离散值的概率分布  79
3.1 一些简单的例子  79
3.2 二项分布  82
3.2.1 二项分布的推导  82
3.2.2 补充:排列nPk、组合nCk  83
3.3 期望值  85
3.3.1 期望值的定义  85
3.3.2 期望值的基本性质  87
3.3.3 期望值乘法运算的注意事项  91
3.3.4 期望值不存在的情况  93
3.4 方差与标准差  99
3.4.1 即使期望值相同  99
3.4.2 方差即“期望值离散程度”的期望值  100
3.4.3 标准差  102
3.4.4 常量的加法、乘法及标准化  104
3.4.5 各项独立时,和的方差等于方差的和  108
3.4.6 平方的期望值与方差  110
3.5 大数定律  112
3.5.1 独立同分布  114
3.5.2 平均值的期望值与平均值的方差  116
3.5.3 大数定律  117
3.5.4 大数定律的相关注意事项  118
3.6 补充内容:条件期望与最小二乘法  120
3.6.1 条件期望的定义  120
3.6.2 最小二乘法  121
3.6.3 上帝视角  122
3.6.4 条件方差  123
第4章 连续值的概率分布  127
4.1 渐变色打印问题(密度计算的预热)  128
4.1.1 用图表描述油墨的消耗量(累积分布函数的预热)  128
4.1.2 用图表描述油墨的打印浓度(概率密度函数预热)  129
4.1.3 拉伸打印成品对油墨浓度的影响(变量变换的预热)  133
4.2 概率为零的情况  136
4.2.1 出现概率恰好为零的情况  137
4.2.2 概率为零将带来什么问题  139
4.3 概率密度函数  140
4.3.1 概率密度函数  140
4.3.2 均匀分布  146
4.3.3 概率密度函数的变量变换  147
4.4 联合分布·边缘分布·条件分布  152
4.4.1 联合分布  152
4.4.2 本小节之后的阅读方式  155
4.4.3 边缘分布  155
4.4.4 条件分布  159
4.4.5 贝叶斯公式  162
4.4.6 独立性  163
4.4.7 任意区域的概率·均匀分布·变量变换  166
4.4.8 实数值与离散值混合存在的情况  174
4.5 期望值、方差与标准差  174
4.5.1 期望值  175
4.5.2 方差·标准差  179
4.6 正态分布与中心极限定理  180
4.6.1 标准正态分布  181
4.6.2 一般正态分布  184
4.6.3 中心极限定理  187
第5章 协方差矩阵、多元正态分布与椭圆  195
5.1 协方差与相关系数  196
5.1.1 协方差  196
5.1.2 协方差的性质  199
5.1.3 分布倾向的明显程度与相关系数  200
5.1.4 协方差与相关系数的局限性  206
5.2 协方差矩阵  208
5.2.1 协方差矩阵=方差与协方差的一览表  208
5.2.2 协方差矩阵的向量形式表述  209
5.2.3 向量与矩阵的运算及期望值  212
5.2.4 向量值随机变量的补充说明  215
5.2.5 协方差矩阵的变量变换  217
5.2.6 任意方向的发散程度  218
5.3 多元正态分布  220
5.3.1 多元标准正态分布  220
5.3.2 多元一般正态分布  223
5.3.3 多元正态分布的概率密度函数  228
5.3.4 多元正态分布的性质  230
5.3.5 截面与投影  232
5.3.6 补充知识:卡方分布  239
5.4 协方差矩阵与椭圆的关系  242
5.4.1 (实例一)单位矩阵与圆  242
5.4.2 (实例二)对角矩阵与椭圆  244
5.4.3 (实例三)一般矩阵与倾斜的椭圆  247
5.4.4 协方差矩阵的局限性  251
第2部分 探讨概率的应用
第6章 估计与检验  257
6.1 估计理论  257
6.1.1 描述统计与推断统计  257
6.1.2 描述统计  258
6.1.3 如何理解推断统计中的一些概念  260
6.1.4 问题设定  264
6.1.5 期望罚款金额  265
6.1.6 多目标优化  266
6.1.7 (策略一)减少候选项——最小方差无偏估计  267
6.1.8 (策略二)弱化最优定义——最大似然估计  269
6.1.9 (策略三)以单一数值作为评价基准——贝叶斯估计  272
6.1.10 策略选择的相关注意事项  275
6.2 检验理论  276
6.2.1 检验理论中的逻辑  276
6.2.2 检验理论概述  278
6.2.3 简单假设  279
6.2.4 复合假设  282
第7章 伪随机数  285
7.1 伪随机数的基础知识  285
7.1.1 随机数序列  285
7.1.2 伪随机数序列  286
7.1.3 典型应用:蒙特卡罗方法  287
7.1.4 相关主题:密码理论中的伪随机数序列·低差异序列  289
7.2 遵从特定分布的随机数的生成  291
7.2.1 遵从离散值分布的随机数的生成  292
7.2.2 遵从连续值分布的随机数的生成  293
7.2.3 遵从正态分布的随机数的生成  296
7.2.4 补充知识:三角形内及球面上的均匀分布  298
第8章 概率论的各类应用  305
8.1 回归分析与多变量分析  305
8.1.1 通过最小二乘法拟合直线  305
8.1.2 主成分分析  312
8.2 随机过程  319
8.2.1 随机游走  321
8.2.2 卡尔曼滤波器  326
8.2.3 马尔可夫链  331
8.2.4 关于随机过程的一些补充说明  342
8.3 信息论  343
8.3.1 熵  343
8.3.2 二元熵  347
8.3.3 信源编码  349
8.3.4 信道编码  352
附录A 本书涉及的数学基础知识  359
A.1 希腊字母  359
A.2 数  359
A.2.1 自然数·整数  359
A.2.2 有理数·实数  359
A.2.3 复数  360
A.3 集合  360
A.3.1 集合的表述方式  360
A.3.2 无限集的大小  361
A.3.3 强化练习  361
A.4 求和符号∑  362
A.4.1 定义与基本性质  362
A.4.2 双重求和  364
A.4.3 范围指定  366
A.4.4 等比数列  366
A.5 指数与对数  368
A.5.1 指数函数  368
A.5.2 高斯积分  371
A.5.3 对数函数  374
A.6 内积与长度  377
附录B 近似公式与不等式  381
B.1 斯特林公式  381
B.2 琴生不等式  381
B.3 吉布斯不等式  384
B.4 马尔可夫不等式与切比雪夫不等式  385
B.5 切尔诺夫界  386
B.6 闵可夫斯基不等式与赫尔德不等式  387
B.7 算术平均值≥ 几何平均值≥ 调和平均值  390
附录C 概率论的补充知识  393
C.1 随机变量的收敛  393
C.1.1 依概率1收敛  393
C.1.2 依概率收敛  395
C.1.3 均方收敛  396
C.1.4 依分布收敛  396
C.2 特征函数  397
C.3 KL散度与大偏差原理  399
参考文献  404

程序员的数学3——线性代数

目录

第0章 动机  1
0.1 空间想象给我们带来的直观感受  1
0.2 有效利用线性近似的手段  2
第1章 用空间的语言表达向量、矩阵和行列式  5
1.1 向量与空间  5
1.1.1 最直接的定义:把数值罗列起来就是向量  6
1.1.2 “空间”的形象  9
1.1.3 基底  11
1.1.4 构成基底的条件  16
1.1.5 维数  18
1.1.6 坐标  19
1.2 矩阵和映射  19
1.2.1 暂时的定义  19
1.2.2 用矩阵来表达各种关系(1)  24
1.2.3 矩阵就是映射!   25
1.2.4 矩阵的乘积=映射的合成  28
1.2.5 矩阵运算的性质  31
1.2.6 矩阵的乘方=映射的迭代  35
1.2.7 零矩阵、单位矩阵、对角矩阵  37
1.2.8 逆矩阵=逆映射  44
1.2.9 分块矩阵  47
1.2.10 用矩阵表示各种关系(2)  53
1.2.11 坐标变换与矩阵  55
1.2.12 转置矩阵=???   63
1.2.13 补充(1):时刻注意矩阵规模  64
1.2.14 补充(2):从矩阵的元素的角度看  67
1.3 行列式与扩大率  68
1.3.1 行列式=体积扩大率  68
1.3.2 行列式的性质  73
1.3.3 行列式的计算方法(1):计算公式▽  80
1.3.4 行列式的计算方法(2):笔算法▽  87
1.3.5 补充:行列式按行(列)展开与逆矩阵▽  91
第2章 秩、逆矩阵、线性方程组——溯因推理  95
2.1 问题设定:逆问题  95
2.2 良性问题(可逆矩阵)   97
2.2.1 可逆性与逆矩阵  97
2.2.2 线性方程组的解法(系数矩阵可逆的情况)▽  97
2.2.3 逆矩阵的计算方法▽   107
2.2.4 初等变换▽   110
2.3 恶性问题  115
2.3.1 恶性问题示例  115
2.3.2 问题的恶劣程度——核与像  120
2.3.3 维数定理  122
2.3.4 用式子表示“压缩扁平化”变换(线性无关、线性相关)  126
2.3.5 线索的实际个数(秩)   130
2.3.6 秩的求解方法(1)——悉心观察  137
2.3.7 秩的求解方法(2)——笔算  142
2.4 良性恶性的判定(逆矩阵存在的条件)  149
2.4.1 重点是“是不是压缩扁平化映射”  149
2.4.2 与可逆性等价的条件  150
2.4.3 关于可逆性的小结  151
2.5 针对恶性问题的对策  152
2.5.1 求出所有能求的结果(1)理论篇  152
2.5.2 求出所有能求的结果(2)实践篇  155
2.5.3 最小二乘法  166
2.6 现实中的恶性问题(接近奇异的矩阵)  167
2.6.1 问题源于哪里  167
2.6.2 对策示例——提克洛夫规范化  170
第3章 计算机上的计算(1)——LU 分解  173
3.1 引言  173
3.1.1 切莫小看数值计算  173
3.1.2 关于本书中的程序  174
3.2 热身:加减乘运算  174
3.3 LU分解  176
3.3.1 定义  176
3.3.2 分解能带来什么好处  178
3.3.3 LU分解真的可以做到吗  178
3.3.4 LU分解的运算量如何  180
3.4 LU分解的步骤(1)一般情况  182
3.5 利用LU分解求行列式值  186
3.6 利用LU分解求解线性方程组  187
3.7 利用LU分解求逆矩阵  191
3.8 LU分解的步骤(2)意外发生的情况  192
3.8.1 需要整理顺序的情况  192
3.8.2 重新整理顺序也无济于事的状况  196
第4章 特征值、对角化、Jordan标准型——判断是否有失控的危险  197
4.1 问题的提出:稳定性  197
4.2 一维的情况  202
4.3 对角矩阵的情况  203
4.4 可对角化的情况  205
4.4.1 变量替换  205
4.4.2 变量替换的求法  213
4.4.3 从坐标变换的角度来解释  215
4.4.4 从乘方的角度来解释  219
4.4.5 结论:关键取决于特征值的绝对值  220
4.5 特征值、特征向量  220
4.5.1 几何学意义  220
4.5.2 特征值、特征向量的性质  225
4.5.3 特征值的计算:特征方程  232
4.5.4 特征向量的计算▽   240
4.6 连续时间系统  246
4.6.1 微分方程  247
4.6.2 一阶情况  250
4.6.3 对角矩阵的情况  250
4.6.4 可对角化的情况  252
4.6.5 结论:特征值(的实部)的符号是关键  252
4.7 不可对角化的情况  255
4.7.1 首先给出结论  255
4.7.2 就算不能对角化——Jordan标准型  256
4.7.3 Jordan标准型的性质  257
4.7.4 利用Jordan标准型解决初始值问题(失控判定的最终结论)  264
4.7.5 化Jordan标准型的方法  271
4.7.6 任何方阵均可化为Jordan标准型的证明  279
第5章 计算机上的计算(2)——特征值算法  299
5.1 概要  299
5.1.1 和笔算的不同之处  299
5.1.2 伽罗华理论  300
5.1.3 5×5以上的矩阵的特征值不存在通用的求解步骤!  302
5.1.4 有代表性的特征值数值算法  303
5.2 Jacobi方法  303
5.2.1 平面旋转  304
5.2.2 通过平面旋转进行相似变换  306
5.2.3 计算过程的优化  309
5.3 幂法原理  310
5.3.1 求绝对值最大的特征值  310
5.3.2 求绝对值最小的特征值  311
5.3.3 QR分解  312
5.3.4 求所有特征值  316
5.4 QR方法  318
5.4.1 QR方法的原理  319
5.4.2 Hessenberg矩阵  321
5.4.3 Householder方法  322
5.4.4 Hessenberg矩阵的QR迭代  325
5.4.5 原点位移、降阶  327
5.4.6 对称矩阵的情况  327
5.5 反幂法  328
附录A 希腊字母表  330
附录B 复数  331
附录C 关于基底的补充说明  336
附录D 微分方程的解法  341
D.1 dx/dt = f(x) 型  341
D.2 dx/dt = ax + g(t) 型  342
附录E 内积、对称矩阵、正交矩阵  346
E.1 内积空间  346
E.1.1 模长  346
E.1.2 正交  347
E.1.3 内积  347
E.1.4 标准正交基  349
E.1.5 转置矩阵  351
E.1.6 复内积空间  351
E.2 对称矩阵与正交矩阵——实矩阵的情况  352
E.3 埃尔米特矩阵与酉矩阵——复矩阵的情况  353
附录F 动画演示程序的使用方法  354
F.1 执行结果  354
F.2 准备工作  354
F.3 使用方法  355
参考文献  357

线性代数应该这样学

Linear Algebra Done Right

内容简介

描述线性算子的结构是线性代数的中心任务之一,传统的方法多以行列式为工具,但是行列式既难懂又不直观,其定义的引入也往往缺乏动因。本书作者独辟蹊径,抛弃了这种曲折的思路,把重点放在抽象的向量空间和线性映射上,给出的证明不使用行列式,更显得简单而直观。本书把行列式的内容放在了最后讲解,开辟了一条理解线性算子结构的新途径。书中还对一些术语、结论、证明思路、提及的数学家做了注释,增加了行文的趣味性,便于读者掌握核心概念和思想方法。

本书起点较低,不需要太多预备知识,而特色鲜明,是公认的阐述线性代数的经典佳作。原书自出版以来,迅速风靡世界,在30多个国家为200多所高校所采用,其中包括斯坦福大学和加州大学伯克利分校等著名学府。

目录

第1章 向量空间
1.1 复数
1.2 向量空间的定义
1.3 向量空间的性质
1.4 子空间
1.5 和与直和
习题
第2章 有限维向量空间
2.1 张成与线性无关
2.2 基
2.3 维数
习题
第3章 线性映射
3.1 定义与例子
3.2 零空间与值域
3.3 线性映射的矩阵
3.4 可逆性
习题
第4章 多项式
4.1 次数
4.2 复系数
4.3 实系数
习题
第5章 本征值与本征向量
5.1 不变子空间
5.2 多项式对算子的作用
5.3 上三角矩阵
5.4 对角矩阵
5.5 实向量空间的不变子空间
习题
第6章 内积空间
6.1 内积
6.2 范数
6.3 规范正交基
6.4 正交投影与极小化问题
6.5 线性泛函与伴随
习题
第7章 内积空间上的算子
7.1 自伴算子与正规算子
7.2 谱定理
7.3 实内积空间上的正规算子
7.4 正算子
7.5 等距同构
7.6 极分解与奇异值解
习题
第8章 复向量空间上的算子
8.1 广义本征向量
8.2 特征多项式
8.3 算子的分解
8.4 平方根
8.5 极小多项式
8.6 约当形
习题
第9章 实向量空间上的算子
9.1 方阵的本征值
9.2 分块上三角矩阵
9.3 特征上三角矩阵
习题
第10章 迹与行列式
10.1 基变换
10.2 迹
10.3 算子的行列
10.4 矩阵的行列式
10.5 体积
符号索引
索引

从物理思维到数学思维的第一步

好久好久没有写书评了(到现在也只写过一次而已),趁某位大神复活全法也跟着一起复活的时候写点东西,那就写这本黄皮旧旧旅行杀人必带的书吧。

首先说来惭愧,第8、9和10章到现在还没有完全看完,第7章也没有很仔细地看,第4章也大约跳过去了,但这本书最最精彩的1~3可是反复研读嘀。

还记得当初,在上海,那个春天,应该就整整一年天,某天,正在上法方的数值分析…它安排了第一章是线性代数的复习…然后就”Rappeler”了一堆从前一点都不知道的东西(我发现每次不管上什么课的Rappel都不是Rappel…)。

我了个去,还记得大二上线代真没好好上,不怪老师,只怪课程安排的不好,还怪谁叫我们是傲娇的工科生呢,一开头就讲(我书当初是借别人的,现在没了,以下是我我记得的)怎么解线性方程组,然后就定义了个行列式(繁琐的计算),然后第一章就把解线性方程组用Cramer解决了。那我想线性代数就是解决线性方程组吧,那这门课就上完了吧…

没想到之后还继续讲解线性方程组,只不过讲了矩阵,还定义了一大堆东西,就为了解Putain这个线性方程组,啊啊,线性方程组你真的可以闭上眼睛笑着安息了。

不说了,反正不知道当初线性代数到底是干嘛的,稀里糊涂就过了(貌似还90几,惭愧),但忘得超快,一直以为之后肯定不会用到,除了把几个线性方程组写成矩阵形式而已…

正是这次法方数值分析的契机,我在亚马逊(还是当当?)买了这本软皮的黄黄书,开始研究Rappel里将的啥是Espace vectoriel, base, application linéaire, noyau, image,更关键的矩阵的定义,即矩阵乘法的定义是如何与线性映射的复合结合在一起了。知道矩阵乘法的定义后,知道矩阵仅仅是线性映射的一种矩阵表示后,知道怎么用矩阵表示线性映射后,那么基转换也不成问题了:基转换矩阵就是恒等映射表示在两个基下的矩阵,当别人在绞死脑汁是sin还是cos,是转置还不转置的时候,我也只好神秘地笑笑。

上面那么多可以看做前言。以下是对工科生说的话(非数学系学生)。

如果你第一次学线性代数,放弃这本书,对你而言需要更实在的东西,如矩阵(脱离线性映射的矩阵),解线性方程组(又来了…),然后就是在各种领域的应用。这本书一开始在前言就说了,适合第二次学习线性代数时用书。

本书第一章、第二章讲了什么是线性空间和有限维线性空间,介绍了线性无关组、基、维度等等。如果你多想想,我们到现在真的遇到了很多线性空间,一个常微分线性方程的解空间就是一个线性空间,所以只需要找到足够的线性无关的解组成该空间的一组基,那么所有解就是这组基的线性组合了。同理差分方程的解空间也是一个线性空间,如Fibnacci差分方程(Fibonacci数列去掉前两项)就是一个2维的线性空间。

第三章,最最最重要的一章。告诉你什么是一个线性映射,什么是它的核(我不知道中文怎么翻译,如果错了见谅,Noyau)和像(Image),什么是单射满射双射(Injective, surjective, bijective),然后就是最关键的和矩阵的联系。好好学这章好好学。

事实上当初我也就看到第三章,但事实证明我学到了真得很多东西。随着时间的积累,你会习惯去用数学的思维去考虑。每当遇到类似的黑盒子问题,即输入一个值,吐出一个值,我会去想它是不是线性的,如果是线性的就完蛋了,它会被研究透了,至于计算我们可以写下它的矩阵表示,然后运算…

一个例子就是力学里面的惯性张量,或惯性算子,它就是一个线性映射,描述了刚体在某点的质量分布,而它的矩阵表示就是惯性矩阵。知道它是一个线性映射,那么就可以用所有线性映射的理论去研究它,比如如果基转换了怎么办,然后我们发现它是对称的,那么肯定可以找到一个主基使得它表示在这个基下的矩阵是对角的,其中的项就称作主惯性量(不知道具体的术语,忘了),这就是特征值问题了;事实上它还是正定的,那么这三个特征值肯定是正的。

数学就是这样,学了那么多,但要靠自己去应用,多去发现,多去思考,学了什么就尝试去用什么去分析下,你会有新发现了。

谢谢这本书。本人已经从50%的工科生变成24%的工科生和26%的数学生了。

对代数学的具有洞察力的提炼

  高等代数学,或依其主要讲授内容称之为线性代数一直是教学方法难以得到统一的数学领域。就我之前翻阅过的《线性代数(同济)》将行列式作为基本工具首先介绍。引入逆序数概念,容易一开始就学得一头雾水。《代数与几何》作为我们使用的优秀教材,基本思路是通过描述线性映射引入矩阵概念介绍行列式之后对矩阵的性质如特征值,特征多项式进行研究。
  学着学着总感觉《代数与几何》讲得很繁琐,我想找本参考书,知乎大神zero推荐了UTM中的《Linear Algebra done right》,稚嫩的我就半信半疑地亚马逊上买了这本书的影印版,当时下方评论说这本书略装逼。
  刚开始读觉得语言挺简单的,稍微有几个数学词汇需要查一下。没有介绍数域的概念,而是把F直接当做R或C。这点挺好的,本来群环域就是抽代研究的内容。之后就挺普通的,向量空间8条,子空间,直和。练习题中规中矩,有一部分计算题,主要还是抽象的空间,难度不算很大。

  第二章是基和维数,这里比较基础,就不细讲了。
  第三章引入了线性映射,开始变得有趣起来了。range,null,在其他书上记作Image,kernel,维数公式还是比较有趣的。接下来就是这本书的第一个亮点了,线性映射可以被表示为一个矩阵,通过定义矩阵的运算,线性映射的运算也可以得到描述。这里表现出的乘法是那么自然的结果,即刻就下了决心这本书一定要好好看完。第三章的习题开始有一些难度了,有构造性的难题开始出现,核心还是掌握维数公式。
  第四章补充了一些多项式的内容,比如C上的代数基本定理,R上任意多项式一定能被分解成次数不大于2的多项式乘积。正是这个2,本质性地导致了实空间的对角矩阵也是有两个一块的矩阵,也导致了特征值被拓展成特征数对。咳咳,就是这个2让所有实空间上的所有证明都复杂很多,可以说埋下了祸根。
  第五章离经叛道地把特征值放到这么前面来讲了,我认为是很高明的,这才是Done right嘛,特征值的概念本质是很基础的,就是Tv=c*v对于v向量就是一个伸缩变换。这一章作者开始展现极强的归纳法,前面对于直和的学习得到了回报。一般来说证明是这样的:根据归纳假设一个命题对n-1成立,那就把n维空间分解成两个子空间的直和,当然这里分解的技巧有些是很高超的,十分优雅,学完这一章,当时还有很多的疑问,比如上对角矩阵的对角线元素是特征值,那么,是不是都不相同线性映射就可逆(错),知道特征值有无方法立刻找到特征向量(没有)。一冲动就发邮件问了卢涤明教授,被他教育:年轻人还要学习一个,不要成天想搞个大新闻。顺便提一下从这章开始,习题的噩梦就一直伴随着我。
  第六章《内积空间》,这一章真的是站在很高的事业来介绍内积。不是说内积是什么,而是满足四条特性的运算就能被成为内积。这四条性质当然是从原有的点乘提炼出来的,又高于原先的定义。当我一直把内积当点乘理解的时候,本书举了个例子http://img4.doubanio.com/view/thing_review/small/public/p42229.jpg
完全打破了我对固有认知的依赖,内容也很精彩,勾股定理,Cauchy-Schwarz不等式,三角不等式,正交基,向量之间的投影。到这里不过是过去知识的抽象版本。但是当作者讲到Linear functional的时候,最黑暗的时刻来临了。一个完全理解不了直观定义,建立于抽象的内积空间上更加抽象的伴随算子,记作*,有段时间看到伴随算子就怕。但是这一章稍稍介绍了一点这个算子就结束了这一章。
  本书巅峰,第七章:内积空间上的算子。马不停蹄地运用这个伴随算子介绍了normal,self-adjoint, isometry,positive的概念,前两者的性质很多,在实数域和复数域上还很不同,后两者建立在前面的基础上,可以对任何现行映射进行分解。本人觉得本章最重要的就是谱论(Spectral theorem)和极分解(polar decomposition),其他一些定理很多,让我第一次知道记忆力也是数学天赋的一种。这一章我读了3遍,抄了一遍然后花了一天来做习题,还是对着答案才磕磕绊绊做完的……

  后面就顺风顺水了,介绍了推广的特征向量。可以说部分解决了我之前的问题,对特征值和特征多项式的理解提升了。那两天恰逢人生的波折点,我竟然能心平气和地看完两章我真是佩服自己……
  第十章就自然地通过特征多项式引入了迹和行列式。其中迹比较简单,是特征值乘以multiplicity(不知道怎么翻),同时恒等于对角线元素之和。行列式就比较复杂啦,定义为特征值的乘积*(-1)^dimV。本书充分贯彻done right的原则,为保证学生充分理解,讲了很多的特例让读者对排列先熟悉起来,就可以不突兀地引入逆序数了,不得不吐槽中外教材的思路差距,线性映射的行列式啦,矩阵的行列式,都很好地统一起来了。本书最后一节讲了一点积分时变换变量时行列式的应用。然而菲赫金戈尔兹笑而不语,心想:我那本《微积分学教程》第一卷就讲函数行列式了.

  读完的感受么,就是很爽,然并卵,这本书某些方面太薄弱了。比如对矩阵的研究太浅了,矩阵的秩我还是其他书才知道的。据说万能的解一元方程方法克莱姆法则是我高中最初学线性代数的动机,当时读了本烂书《欧姆社 线性代数》都讲了克莱姆法则。而学这本书可以说是南辕北辙了吧。还有其他什么矩阵相抵,相似,二次型,对偶空间上课听卢涤明吹逼竟然毫无还手之力……不过总之向想要对数学概念有更高理解的同学强烈推荐哦。
  假期里想补一补更难的书,基本决定是张贤科的《高等代数学》了。据说这本超难,估计又要体会几十个知识点黑压压得压过来的沉重感了吧。
  其实我内心一直有声音提醒我:快滚去做最后一章习题!

数学那些事儿——思想、发现、人物和历史

The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems, and Personalities,1E

目录

A 算术 (Arithmetic)   1
B 伯努利试验 (Bernoulli Trial)    14
C 圆 (Circle)    28
D 微分学 (Di.erential Calculus)   42
E 欧拉 (Euler)    55
F 费马 (Fermat)    70
G 希腊几何 (Greek Geometry)    83
H 斜边 (Hypotenuse)    97
I 等周问题 (Isoperimetric Problem)    111
J 论证 (Justiˉcation)    122
K 牛顿爵士 (Knighted Newton)   137
L 被遗忘的莱布尼茨 (Lost Leibniz)   153
M 数学人物 (Mathematical Personality)    169
N 自然对数 (Natural Logarithm)   179
O 起源 (Origins)    192
P 素数定理 (Prime Number Theorem)   207
Q 商 (Quotient)   216
R 罗素悖论 (Russell’s Paradox)   229
S 球面 (Spherical Surface)  243
T 三等分 (Trisection)   256
U 实用性 (Utility)   268
V 维恩图 (Venn Diagram)   282
W 女性在哪里 (Where Are the Women?)  284
XY 平面 (XY Plane)    297
Z.  310
后记   320

数字起源——人类是如何发明数字,数字又是如何重塑人类文明的?Numbers and the Making of Us: Counting and the Course of Human Cultures

math20180717.jpg

目录

前言:人类为何能在进化中脱颖而出 Ⅲ

第一部分:人类经验中数字无处不在
第1章 数字编织着我们的现在 005
第2章 数字铭刻于我们的过去 029
第3章 今日世界的数字之旅 063
第4章 数字之外的语言 095

第二部分:没有数字的世界
第5章 无数字的族群 127
第6章 数量概念是否与生俱来 159
第7章 动物脑中的数量概念 185

第三部分:数字塑造了我们的生活
第8章 数字和算术的发明 213
第9章 数字与文化:符号与人类的生计 237
第10章 转化的工具 267
致谢 289
注释 291

思考的乐趣——Matrix67数学笔记

目录


前言
目 录
第一部分 生活中的数学 1
1.1 概率论教你说谎 2
1.2找东西背后的概率问题 5
1.3 设计调查问卷的艺术 7
1.4统计数据的陷阱 9
1.5 为什么人们往往不愿意承担风险? 13
1.6消费者承担消费税真的吃亏了吗? 15
1.7 价格里的阴谋 19
1.8 公用品的悲剧 30
1.9 密码学与协议 34
1.10公平分割问题 44
1.11 中文自动分词算法 49
第二部分 数学之美 55
2.12 让你立刻爱上数学的8个算术游戏 56
2.13 最折磨人的数学未解之谜 61
2.14. 那些神秘的数学常数 76
2.15. 奇妙的心电图数列 84
2.16 不可思议的分形图形 88
2.17 几何之美:三角形的心 100
2.18 数学之外的美丽:幸福结局问题 108
第三部分 几何的大厦 111
3.19尺规作图问题 112
3.20 单规作图的力量 123
3.21 锈规作图也疯狂 130
3.22火柴棒搭成的几何世界 134
3.23 折纸的学问 141
3.24万能的连杆系统 147
3.25探索图形剪拼 153 25.
第四部分 精妙的证明 159
4.26我最爱的一个证明 160
4.27把辅助线作到空间中去的平面几何问题 162
4.28小合集(1):几何问题 169
4.29皮克定理的另类证法和出人意料的应用 179
4.30欧拉公式的另类证法和出人意料的应用 185
4.31 定宽曲线与蒲丰投针实验 192
4.32来自不同领域的证明 196
4.33平分面积的直线 203
4.34小合集(2):图形证明 205
4.35生成函数的妙用 212
4.36利用赌博求解数学问题 215
4.37非构造性证明 217
4.38小合集(3):数字问题 220
第五部分 思维的尺度 223
5.39史诗般壮观的数学证明 224
5.40停机问题与“万能证明方法” 227
5.41奇怪的函数(一) 232
5.42 比无穷更大的无穷 234
5.43奇怪的函数(二) 243
5.44 塔珀自我指涉公式 246
5.45俄罗斯方块可以永无止境地玩下去吗? 249
5.46无以言表的大数:古德斯坦数列 254
5.47乘法之后是乘方,乘方之后是什么? 256
5.48不同维度的对话:带你进入四维世界 260

从一到无穷大

目录

科普经典,名著名译(代序)
1961年版作者前言
第一版作者前言
《从一到无穷大》读者感言摘录
第一部分 做做数字游戏
第一章 大数
第二章 自然数和人工数
第二部分 空间、时间与爱因斯坦
第三章 空间的不寻常的性质
第四章 思维世界
第五章 时间和空间的相对性
第三部分 微观世界
第六章 下降的阶梯
第七章 现代炼金术
第八章 无序定律
第九章 生命之谜
第四部分 宏观世界
第十章 不断扩展的视野
第十一章 “创世”的年代
图版
译后记

数学:确定性的丧失

目录

第一章数学真理的起源
第二章数学真理的繁荣
第三章科学的数学化
第四章第一场灾难:真理的丧失
第五章一门逻辑科学不合逻辑的发展
第六章分析的困境
第七章世纪的困境
第八章天堂之门
第九章天堂受阻:理性的新危机
第十章逻辑主义与直觉主义
第十一章形式主义与集合论公理化基础

什么是数学——对思想和方法的基本研究 What is Mathematics

目录

什么是数学

第1章 自然数
引言
§ 1 整数的计算
§ 2 数系的无限性 数学归纳法
第1章 补充 数论
引言
§ 1 素数
§ 2 同余
§ 3 毕达哥拉斯数和费马大定理
§ 4 欧几里得辗转相除法
第2章 数学中的数系
引言
§ 1 有理数
§ 2 不可公度线段 无理数和极限概念
§ 3 解析几何概述
§ 4 无限的数学分析
§ 5 复数
§ 6 代数数和超越数
第2章补充 集合代数
第3章 几何作图 数域的代数
引言
第1部分 不可能性的证明和代数
§ 1 基本几何作图
§ 2 可作图的数和数域
§ 3 三个不可解的希腊问题
第2部分 作图的各种方法
§ 4 几何变换 反演
§ 5 用其他工具作图 只用圆规的马歇罗尼作图
§ 6 再谈反演及其应用
第4章 射影几何 公理体系 非欧几里得几何
§ 1 引言
§ 2 基本概念
§ 3 交比
§ 4 平行性和无穷远
§ 5 应用
§ 6 解析表示
§ 7 只用直尺的作图问题
§ 8 二次曲线和二次曲面
§ 9 公理体系和非欧几何
附录

高维空间中的几何学

第5章 拓扑学
引言
§ 1 多面体的欧拉公式
§ 2 图形的拓扑性质
§ 3 拓扑定理的其他例子
§ 4 曲面的拓扑分类
附录
第6章 函数和极限
引言
§ 1 变量和函数
§ 2 极限
§ 3 连续趋近的极限
§ 4 连续性的精确定义
§ 5 有关连续函数的两个基本定理
§ 6 布尔查诺定理的一些应用
第6章补充 极限和连续的一些例题
§ 1 极限的例题
§ 2 连续性的例题
第7章 极大与极小
引言
§ 1 初等几何中的问题
§ 2 基本极值问题的一般原则
§ 3 驻点与微分学
§ 4 施瓦茨的三角形问题
§ 5 施泰纳问题
§ 6 极值与不等式
§ 7 极值的存在性 狄里赫莱原理
§ 8 等周问题
§ 9 带有边界条件的极值问题 施泰纳问题和等周问题之间的联系
§ 10 变分法
§ 11 极小问题的实验解法 肥皂膜实验
第8章 微积分
引言
§ 1 积分
§ 2 导数
§ 3 微分法
§ 4 莱布尼茨的记号和“无穷小”
§ 5 微积分基本定理
§ 6 指数函数与对数函数
§ 7 微分方程
第8章补充
§ 1 原理方面的内容
§ 2 数量级
§ 3 无穷级数和无穷乘积
§ 4 用统计方法得到素数定理
第9章 最新进展
§ 1 产生素的公式
§ 2 哥德巴赫猜想和孪生素数
§ 3 费马大定理
§ 4 连续统假设
§ 5 集合论中的符号
§ 6 四色定理
§ 7 豪斯道夫维数和分形
§ 8 纽结
§ 9 力学中的一个问题
§ 10 施泰纳问题
§ 11 肥皂膜和最小曲面
§ 12 非标准分析
附录 补充说明 问题和习题

算术和代数
解析几何
几何作图
射影几何和非欧几何
拓扑学
函数、极限和连续性
极大与极小
微积分
积分法
参考书目1
推荐阅读(参考书目2)

基本概念

罗胖精选 | “等号”里的数学思维

今天的“罗胖精选”是来自于另外一个App叫「少年得到」,注意啊,不是「得到」,是「少年得到」,这个App你需要重新下载。也是上面的一个付费订阅专栏,林欣浩老师的《数学有意思》。

这课程研发出来之后,我推荐给我很多朋友听。他们听过之后,通常会有两个感慨。第一,数学课居然可以用音频上,不用写公式的。第二,我原来以为我是学过数学的,但现在才知道,原来我不懂什么是“数学思维”。我要把它推荐给我的,和我朋友的孩子。

好,我们接下来一起听一听,林欣浩老师是怎么讲解数学中非常基础的符号“等号”的。

摘自「少年得到」App《林欣浩·数学有意思》

数学有意思3:等号

你好,我是林欣浩。

今天我来跟你讲一下,等号这个概念是怎么来的。

在前面,我们讲过离散和连续的概念。人类在最早没有理性思维的时候,对这个世界的认识是混沌一团的,是模模糊糊的。后来,人类慢慢产生了理性思维,才会产生语言,才会产生思想。我们详细讲一下这个过程。

比如说有一只猴子,它没有理性思维,它的生活凭的就都是本能,它靠本能知道什么时候吃,什么时候睡。结果有一天,这只猴子进化了,变成猿人了,头脑中渐渐有了理性思维,开始去思考这个世界了。这个时候,他就要用理性的语言把思考的结果告诉自己的后代。

比如说他发现人生中有一个非常重要的事,苹果可以吃,石头不可以吃。那他就把他的孩子叫过来说,“你看,这是苹果,这能吃;这是石头,这可不能吃啊。”那个孩子点点头说,“啊,这个能吃,这个不能吃。”在这一瞬间里,这个小孩他的头脑中已经产生了一个非常重要的概念,叫做“比较”,或者叫“分辨”。

这个小孩之所以能够学到苹果可以吃的人生经验,前提是,他必须能分辨出什么是苹果,什么是石头。一个苹果,一个石头,这两个东西差不多大小,但是小孩拿过来一比,一个是红色的、是软的,一个是黑色的、是硬的,他比出来了,他才能知道哪个能吃,哪个不能吃。

也就是说,只有先比较出了不同,我们才能知道,这个东西和那个东西不一样,我们人类才能给这些东西命名,我们才能用语言去谈论它们。所以,我们可以说,比较是人类产生理性思维的一个前提。如果没有比较,东西和东西之间没有分别,那世界就还是连续的,还是模糊一团的。

前面我们说的是,比较这个概念是理性思维的基础。那我问你,比较又是在干什么?比较是在发现这两个东西之间的相同和不同,所以一旦有了比较的概念,就有了相同和不同的概念。

这个相同的概念非常重要,我们在前面说过,原始人在学会数水果之前,必须先把不同的水果给抽象成是一样的,这个抽象成是一样的,用我们现在的话说,就是通过比较,认为这些水果都是相同的,就相当于拥有了“相同”的概念。而相同的概念放到数学里面是什么呢?就是等于,所以,这里就诞生了“等于”的概念。

用一句话总结一下,我们刚才说的是,数学里的等号它不是凭空规定出来的,它是我们用比较的眼光去看待这个世界后,自然而然的结果。

我们现在知道了,等号是比较的结果。

但是这事还没那么简单,我们还得继续往深里想。我们在做比较这件事的时候,其实它还暗含了一个前提,叫做我们“比的是什么”。

我举一个例子,父母管教我们的时候,有一个口头禅,叫做别人家的孩子。有的父母会说:你看看别人家的孩子,学习比你好,还比你听话,你好好跟人家学学。我们听了就很不服,我们会说:那有什么了不起的,我打游戏还比他好呢,我踢球还比他好呢。父母就会说了,你就会拿这个跟人家比,你怎么不跟人家比比学习成绩呢?

在这里,我们跟父母争论的是什么呢?我们和父母都在拿我和别人家的孩子比,但是我们比的东西不同,父母比的是学习成绩,我们比的是打游戏,踢足球。

那你说在这里面,我们和父母谁错了呢?谁都没有错。这两种比法都是对的。因为我们每个人都有很多的属性,我们只是挑出了其中的一个去比较,我们比较的属性不同,得出的结论当然也是不同的。

好,那接下来的问题是,那到底应该挑哪个属性去比较呢?答案很简单,关键是我们打算通过比较去解决什么问题。

我们在谈论考试的时候,我们比的当然是学习成绩;我们在足球场上,比的当然是踢足球的水平。说白了,我们要比较的是关键属性。所以,人类在开始比较之前,还有一件事要做,就是决定哪些属性是关键的,是需要比较的;哪些属性不重要,不需要比较。

这就是我们和父母分歧的关键,我们是在和父母争论,我和别人家的孩子谁好吗?其实不是的。父母并不在乎你跟别人家的孩子谁好,谁在乎别人家的孩子呀?父母和你争论的其实是什么东西对你的自我评价最重要,是学习最重要,还是踢球最重要。

我们前面说了一大堆话,我总结一下,就是一句话,数学里的等号是来源于比较,而比较的前提是先确定哪些东西最重要。

所以,当我们在数学里面写下一个等号的时候,这一瞬间,我们其实做了一个非常重要的判断,我们在当众宣布,“我”认为哪个东西最重要。比如,当我们在纸上写上1+1=2的时候,这说明,我们关心的是数量,其它的属性我们不在乎。

就好像原始人在数苹果的时候,只关注苹果的数量,苹果的大小、颜色都不重要。在几何里,我们说,两个三角形全等。我们的意思是,我们只关注这两个三角形的大小和形状,它们在空间里的位置不重要。当我们学加法交换率的时候,说1+2=2+1,这意味着我们认为加法的数量结果重要,加法的先后顺序不重要。

所以可以说,数学里的等号其实有特别大的权力。当我们说两个数学量相等的时候,实际上就等于向所有接受这套数学规则的人宣布,从现在开始,我们就讨论这个因素,别的因素我们不讨论,因为它不重要。

好,总结一下,今天你学到了哪些关键知识点:

第一,理性思维的前提是比较,数学中的等号可以看成是比较的结果。

第二,数学里的等号非常重要,当我们说出两个东西相等的时候,已经暗含了一个重要的判断,判断什么东西对我们是重要的,什么不重要。这个判断的过程其实就是我们常说的抽象。

现在给你留一道思考题:我们刚才说,宣布两件事情相等是一个巨大的权力,这个权力不止存在于数学里,在我们的生活中也是一个巨大的权力。

比如在我们的眼里面,看漫画和看漫画是不一样的,有的漫画思想深刻,有的漫画很肤浅;玩游戏和玩游戏也不一样,有的游戏艺术价值非常高,有的游戏就很平庸。

可是在一些大人的眼里面,看漫画和玩游戏都一样,都叫做浪费时间,这些游戏和漫画之间是划等号的。这个等号的背后,其实包含了非常重要的价值判断,我们和父母的很多冲突都来自于这个等号。

在你的生活中,还能发现类似的例子吗?你可以把你的想法在文稿下面的留言区里留言。

下一集我们讲一个奇怪的概念,叫做无穷大。

微积分

速度,时间,位移,导数,斜率,面积,






费马大定理

理发师悖论





从默默无闻到无所不能,统计学如何“逆袭”?

如果评选出版史上最容易因书名引起误会的书,这本书要是第二,没书敢称第一。

它就是今天要介绍的——《女士品茶》,一本统计学名著。

作者: 萨尔斯伯格
译者:邱东 等
出版:中国统计出版社

  1. 你可能会好奇:一本统计学名著,为啥书名要用“女士品茶”呢?这背后有个故事。剑桥大学的一群教授喝下午茶时,一位女士说:“把茶倒进牛奶,和把牛奶倒进茶里,调出来的茶味道不同。”为了验证是否如此,这群科学家专门设计了个实验。

假设“口味不变”,只改变茶和牛奶的加入顺序,重复试验……从预设结论,到控制变量、重复实验过程,再到分析数据、验证预设。这个流程,包含标准的统计学思路。

  1. 如今,统计学被应用在方方面面。为啥公司要设法获取用户数据?为啥浏览信息后会收到各种“猜你喜欢”?为啥天气预报有时会不准…… 所有这些事的背后,都有一只“统计学之手”。

统计学就是通过收集、分析、解读数据,解决现实问题。数据是统计学的“灵魂”。

  1. 统计学史上第一次高光时刻——美国经济大萧条。

20世纪30年代,美国经历经济大萧条。国家情况到底有多糟,没人知道。为了更好地决策,美国政府使用随机抽样的方式,来更准确地了解国家的情况。在政府推动下,抽样调查迅速被应用到其他领域。

  1. 统计学史上第二次高光时刻——二战。

“二战”时,统计学在密码破译领域功勋卓著。用统计学破解密码,利用了建模思想。常用方法是:统计加密信息中每个字符出现的频率,把它和实际使用中,不同字母出现的频率作对比,就能猜到它对应的字母。

美国就是利用统计字母频率的方式,破解了日军进攻中途岛的消息,一举扭转战局。

  1. 上面两次大规模的“实战”,证明了统计学的价值。统计学中至关重要的两个工具——抽样调查、统计建模,在这两次高光时刻里,被完善和固定下来。统计学从默默无闻的小学科,成为科学研究的基础工具。

  2. 在众多学科中,统计学还有一个特殊地位——见证了人类一次重要的认识升级。

之前人们相信“有因必有果,有果必有因”。随着科学发展,人们认识到:世间万物并非是绝对的因果关系,很多结果是随机的。

这个转变的重要标志,就是统计学的兴起:从简单记录数据,变为研究数据出现的概率、分析相关性。统计学逐渐收到重视。

  1. 你思考过这个问题没有:人类认识世界,始终存在一个矛盾——世间万物无限,但我们掌握的数据却很有限。这是否意味着人类无法认识世界了?

不。统计学,能解决这个问题。从总体中挑选一部分具有代表性的样本,用样本的情况,就能有效推测总体的状况。

  1. 一个懂统计学的人,和完全不懂的人的区别在于:恰恰是懂的人知道,统计结果可能出错。反而是不懂的人,才认为统计一定要正确。

无论多么严密,统计学提供的只是一个概率。“黑天鹅”事件一定会出现、天气预报很可能不准……懂点儿统计学的人,对变化的宽容度会更高。

  1. 当下,统计学正在经历自己的第三次高光时刻——大数据的兴起。

从统计学出发,随着计算机算力的提升,大数据内部分成了两派:一派坚持以经典统计学为基础,另一派则抛开统计实验,依赖算法的力量。两派分歧很大,到底谁代表大数据的未来?一切未知。

  1. 同时,统计学也面临重要挑战:统计学的背后,是否存在价值观?

不妨思考几个问题:单纯从数据出发,算不算好的统计研究?为了获取用户数据,能否侵犯用户隐私?是否要迎合用户口味,只推荐他感兴趣的内容……这些都不是统计学本身的问题,但对统计学的发展,至关重要。

今日所得

  1. 统计学就是通过收集、分析、解读数据,来解决现实问题。数据,是统计学的“灵魂”。

  2. 世间万物并非是绝对的因果关系,很多结果的出现,都是随机的。

  3. 恰恰是懂统计学的人知道,统计结果是可能出错的。不懂的人,才认为统计要百分之百正确。

参考资料

数学之美

thebeautyofmath20180424.jpg

数学世界的探奇之旅

12堂魔力数学课

罗辑思维:爱因斯坦的逆袭 125

感谢各位来到《罗辑思维》捧场。

很多朋友都在问,说罗胖你们每期视频节目的选题是怎么定的?
今天我就把我们的行业秘密,我们的底牌给大伙儿和盘托出。
其实《罗辑思维》是生存在传统知识传播的一个空白地带,准确地说是两点:

第一点,传统的知识传播,是假设我把未知的东西推给你变成你的已知,讲知识的人都是老师都是大师,而你是学生是菜鸟。
所以知识很高大上虽然很陌生,有时候你也不感兴趣,但你不得不听。
而罗胖讲的东西正好是反过来的,我的方向是从你的已知到你的未知为什么,因为我不是大师,我也不是什么老师,我只是带有个人的好奇心,向各种人去打听,向书本打听,向行业内的高手打听,甚至向我们节目的策划人打听,他们把我说明白了,我再转述给大伙儿。
所以我特别关注这个知识你有没有感觉,就是你有一点点好奇心,跟我一样生发出来,然后我们再向陌生的领域去挺进。

第二个不同呢,是传统的只是传播都有一个假设。
比如说以前我们讲的《富兰克林传》,富兰克林这个人很多中国人都知道,但具体怎么样你不知道,我再说一个扣子,当唤醒你的好奇心之后,我们再一起向陌生领域出发。
所以这个方向不同,是传统的知识传播都有一个假设,学好数理化走遍天下都不怕,学知识是为了增强你的社会竞争力。
可是在罗胖这儿没有这个慨念,听我们《罗辑思维》节目,不增强社会竞争力,纯粹是一种个人的好奇心。
你看,如果你只为了增强社会竞争力而学习,你就会觉得你的知识世界里,其实充满了概念,而没有温度。

比如说,说到科学家,我们很多人都知道伽利略,也知道牛顿,为啥?
高考考嘛!
牛顿的三大定律,那真是要落实在试卷上的分数。
可是落实到我们今天要讲的这个人物爱因斯坦身上,你就会觉得好陌生。
爱因斯坦真的对很多人来说,他就是个概念,为什么?
高考不会考相对论的嘛。
而《罗辑思维》就是要帮你,奋力推开这一堵知识之墙,把很多东西从非常苍白的那个抽象的概念,变成你心中有温度的历史的具体场景,和一个古人的生命的有温度的接触。
这是我们的使命和理想,其实人生一世如此短暂,我们要想让自己的生命变得更丰满,有更高的维度,唯独和更多的生命在一起的时候,我们才能找到这种感觉。
一脑子概念,什么问题都解决不了。

好,那回到我们今天的主题爱因斯坦。
爱因斯坦这个人,很多中国人都知道,但是知道呢只是一个名,觉得相对论很伟大,相对论怎么回事,其实很少有人说得明白。
你看居里夫人有一个情人,你不要以为科学家没情人,科学家女的她也有。
这个人叫朗之万,他就讲,说世界上知道相对论是怎么回事的人,不超过12个人。
那是那个时候的讲法。
其实你觉得今天情况有改善吗?
学过大学受过大学教育的人,其实你想想看你周边有多少人,能跟你讲得清楚相对论。

那奇怪了,爱因斯坦为什么在中国人这儿这么有名呢?
想来想去大概是两个原因:
第一,爱因斯坦这个人后半生,在科学上贡献不太大,但是这个人特别爱操闲心,尤其爱操中国人的闲心。
爱因斯坦跟中国人还是挺有缘的,他1922年的时候,那个时候他已经是全世界很著名的一个学者,但是他得诺贝尔奖,诺贝尔物理学奖这个消息,却是在中国上海听到的。
当时是怎么回事呢?
他是到日本去演讲,然后从新加坡到香港,然后在上海又待了一站,在上海码头上欢迎他的人,因为他是大科学家,都是各国驻上海的领事,其中就有瑞典驻上海的领事,就迎接爱因斯坦的时候,送上了一份礼物,说你久久盼望的诺贝尔物理学奖,终于颁给你了。
所以爱因斯坦是在这个场景下,得知自己得奖的,很有缘分吧。
后来爱因斯坦管中国的事管得也比较多。
比如说日本人欺负我们,爱因斯坦说,反对,反对,谴责,这也有。
比如说1932年陈独秀,就是中国共产党的第一任总书记被捕,爱因斯坦跟罗素、杜威,给蒋介石写信,看我的面子把他放了吧。
后来1937年的时候,又有什么七君子事件,爱因斯坦又给蒋介石写信,看我的面子,把他们放了吧。
好多这种事,所以中国人觉得,爱因斯坦真是对中国问题很关心,对中国人民很友善。

那第二个原因呢,就是爱因斯坦有很多小故事,在中国民间流传,最著名的就是那个小板凳。
老师布置小爱因斯坦做一个小板凳,结果交上来的作品奇丑无比,老师说这是世界上最丑的小板凳,爱因斯坦说不对,我这些还有两个更丑,这是我先前做的,现在交上去的那个已经改善了。
多好的故事啊,家长多愿意跟自己的孩子讲啊,甭管多笨的小孩,只要是持续改善努力学习,将来就能成为爱因斯坦那样的大科学家。
这故事当然好,但是留下一个后遗症,很多中国人都以为爱因斯坦小时候,真的是一个笨小孩。

我还看过香港作家倪匡写的一部中篇的科幻小说叫《头发》,他就幻想了一个情节,说人类其实是外星一个高度发达文明,流放到地球上的一伙囚犯,不学好,被关到这儿来了过了很多年。
外星球上的长老说,派人去看看吧,地球上的那帮家伙有没有改好,要给他们改过自新的机会,于是就派了四个人,肉身过不来,派灵魂穿越到地球上来,所以只好托生在人的躯壳里,结果变成了哪四个人呢?
你看前三个人,佛陀释迦牟尼,第二个人是伊斯兰教的创立者穆罕默德,第三个人是耶稣基督。
你看这三大宗教的教义都差不多,你们要学好学好之后就可以回到天堂,就可以回家,无论是到上帝的身边,还是安拉的身边,还是西方极乐世界,都是改好了就可以回家。
这当然是科学幻想了,但是有一个有趣的哏,就是有一个家伙走错路了,结果迟了很多年,而且特别不凑巧,投生到一个痴呆儿的脑子里,这个人就是爱因斯坦。

这些东西都在告诉我们,爱因斯坦小时候好笨,后来之所以做出那么大的科学发明,其实可能是某一种神秘力量的产物,那是不是这么回事呢?
不是这么回事,爱因斯坦确实有问题,就是他的语言功能发育得比较迟,到三岁的时候才会说话,而且犹太人又特别重视教育,所以六岁就把他送去上学。
你想一个三岁才会说话的孩子,六岁就去上学,他在交往上语言表达能力上,确实就比较有障碍,而且有一点自闭症的倾向。
但是要知道他只是一个偏科的小孩,爱因斯坦在数学物理这些方面,从小其实就表达出了高度发达的智力,只不过在文科方面相对比较差,什么英语拉丁文,他一辈子也不怎么样。

但爱因斯坦这个人在文科方面也不是毫无建树,他热爱音乐,他还会拉小提琴。
但是你不要光看照片就觉得,他是一个小提琴水平很高的人。
我看《爱因斯坦传》里面讲过,就是有一个小提琴家就说爱因斯坦,说他拉琴那个姿势就跟锯木头差不多。
还有后来他不是成名了吗?
有一些人就捧他臭脚呗,安排他和著名的钢琴家一起演奏,演奏到半途人钢琴家不弹了,说你到底识不识谱啊。
爱因斯坦的音乐也就这个水平。

他真正发达的是在教学物理这些,需要高度抽象思维的领域。
你看中国教育当中有一句话,说学生应该德智体美劳全面发展,可是一个天才,他是很难全面发展的好不好?
他往往都是偏科的孩子,某一方面特别强,剩下不行。
所以全面发展这个标准,其实是中国教育扼杀了很多天才的一只黑手。

不谈这个了越谈越糟心,我们接着说爱因斯坦。
爱因斯坦是出生在1879年。
他们全家原来是生活在德国南部城市慕尼黑,但是到他13岁的时候就举家迁到了意大利,但是请注意爱因斯坦一个十几岁的少年,一个人留在了慕尼黑没有走,为啥?
因为他上的那个学校很好。家长舍不得让他转学,因为幕尼黑当时就是德国南部经济最发达的一个城市,相当于今天中国的广州。
而爱因斯坦上的那个中学,又相当于北京的什么人大附中,只要上了这个中学,将来考什么名牌大学是不成问题的。
他父亲特别希望把他培养成一个电气工程师,德国人都特别崇拜工程师,就按照这条路,你就一个人留在慕尼黑好好发展吧。
结果他父亲刚去了意大利没几年,爱因斯坦被学校勒令退学被开除了,为啥?
不是因为成绩不好,爱因斯坦成绩挺好的,是因为他弄虚作假。
按照当时的说法,人品有问题。
那具体啥原因呢?
是因为爱因斯坦从年轻的时候,就特别反感军队,而当时德国的制度又规定,所有的年轻男子到了一定岁数,没有特殊的原因一定要去服役。
爱因斯坦十几岁,就天天在这儿琢磨,我怎么能够不参军,后来他就找了一个医生,给他开了一份假证明,证明身体不行不能够服军役。
后来学校就给发现了,小小年纪退学就没学上了。这儿我们得补充一句,
爱因斯坦一辈子都是这个思想,他写过一篇很著名的文章叫《我的世界观》,其中就特别刻薄地谈到了军队。
他这么说,他说一个人如果在军乐队的那个乐声当中,能够得意洋洋地行走,仅凭这一条我就看不上他。
后来他又说了一句特别刻薄的话,说这种人他长一个脑袋,一个大脑,就是个误会,他根本不需要大脑,他只需要一根脊柱上的神经,就足够满足他一切需要了。
但爱因斯坦他就是一个极度渴望自由的人,军队那种刻板的严守纪律的生活,他只要一想他就觉得自己受不了。

所以十几岁的爱因斯坦只好一个人,孤零零地跑到意大利米兰去找他爹。
他爹也没招啊,你这没学上了,怎么办呢?
意大利的中学又不接受这样的学生,所以只好让他去瑞士碰碰运气,为啥?
因为瑞士的大学可以接受那种,叫同等学历的学生,而爱因斯坦在数学物理方面又特别有优长,所以没准儿瑞士的大学可以直接录取他。
他就去了,当然第一年没考取,偏科嘛。
第二年考取了什么大学,特别好的一所大学,所以你看他不是个笨小孩,是苏黎士联邦理工学院。
这个大学直到今天,因为中国人现在不作兴到欧洲留学,所以很多人不知道这个大学。
这个大学是除了爱因斯坦之外,还培养了二十名诺贝尔奖获得者,你说还了得吗?

爱因斯坦上了大学之后,整天是蓬头垢面,就是现在我们看到爱因斯坦那个脑袋,像鸡窝一样那个形象,上大学期间就这样。
大学期间就干两件事,第一天天琢磨理论物理,第二天天谈恋爱,他的女朋友叫米列娃。
大学之间这么度过,之后成绩能好得了吗?
最后毕业的时候,爱因斯坦在全班的排名是第四名,他那个女朋友米列娃是第五名。
你说还不错啊这成绩,他们班一共五个人,所以就排了这么一个。

那自然这样的成绩最好的出路就不能给你了。
对于当时学物理的人来讲,他读的叫师范系的物理专业,那最好的出路就是留校将来当副教授当教授。
那爱因斯坦就没戏了,所以毕业就毕业了,你们出去找工作吧又找不着工作,爱因斯坦那段日子过得真叫是暗无天日。
他干过很多乱七八糟的工作。
比如说在当时瑞士的一个气象台,做计算工作,就是采集一些数据,然后干一些小学生会四则运算就会干的那个计算工作。
后来又跑到一个职业学校去当代课老师,那个职业学校离他住的地方还特别远,要翻一座山才能去,爱因斯坦还特别愿意干老师。
总而言之什么烂活都干过,最后他甚至讲过一句话也算是自嘲,说我会拉小提琴虽然拉得不好,我挨门挨户拉小提琴总能挣一口饭钱吧,其实这不就沦入到该乞讨的地位了吗?

当然后来这种事一来二去就传开了,大家说这么好的大学,这么个学生怎么能这样呢?
他们班有一个混得很好的同学叫格罗斯曼,这个人后来也不得了,是一个大数学家,广义相对论里面的数学演算,就是在他的帮助下才完成的。
这格罗斯曼成绩好毕业之后直接留校当老师,第四名第五名还是一对男女朋友,现在这一对宝贝混成这个德性,我作为同学好意思不出手吗?
但是格罗斯曼自己也是个年轻老师,没什么门路,所以就求到了自己的父亲,他父亲又请托到他的一个朋友,是当时瑞士专利局的局长叫海勒局长。
你可千万别以为什么西方民主法制社会,就没有人情请托这回事,照样有只不过人家做得比较高明,你看人海勒局长是怎么干的。
老朋友托过来了,所以干脆在报纸上,公开打了一个招聘广告,说我现在要招聘一个技术员,负责审查电气方面的各种专利事务,所以这个人要大学毕业,而且精通物理。
你想想看瑞士当时本来就没多少人口,大学毕业的人有多少,学物理的就更少一个班才五个人,而且还看得重专利局这个公务员的职位就更少了,所以这则广告其实就是为爱因斯坦这个人量身打造,你看到广告就直接来吧。
所以爱因斯坦晃着大脑袋就去了,于是在1902年的时候,爱因斯坦入职瑞士伯尔尼专利局,成为一个公务员。

公务员的生活,如果你不想往上爬的话,其实挺好的,白天那种规律工作,他有大量的闲暇时间去完成自己创作性的事。
人类历史上好多有创造力的人,其实都是公务员。
而且这份工作他的工资不低,一个月是3500瑞士法郎,要知道如果在一个大学,爬到了副教授,一个月也不过4500瑞士法郎,而且爱因斯坦刚入职,就拿到了3500非常不低了。
那紧接着1902年的事情,紧接着就结婚,把米列娃娶了当自己的老婆,然后第二年就生了一个孩子这就过去了。

本来这一辈子就可以这样交代了,但是不知道怎么回事,简直就像上帝摸了爱因斯坦的头,爱因斯坦在1905年,突然一下子连续抛出了五篇论文,而且每一篇都是现代物理学史上标志性的成果。
他提出了光的波粒二象性,也就是光的本质既是一种波,同时又是一种粒子,后来爱因斯坦就是凭借这一篇论文,获得了诺贝尔物理学奖。
那第二篇论文是测定了分子的大小。
第三篇论文是论证了原子的存在。
你想想看这都是多么重要的话题,但是这前三篇论文,和第四篇、第五篇相比,重要性就差得太远了。
因为就在第四篇论文,叫《论运动物体的电动力学》,这篇论文当中他提出了狭义相对论。
而第五篇论文呢,又补充了狭义相对论的一个结论,并推算出一个公式叫E=mc,这个公式经常放在爱因斯坦那个大脑袋旁边,是他的一个标志性的代码。

那为什么狭义相列论这么重要,跟前三篇相比它的位置如此突出?
因为就在这篇论文当中,人类的整个物理世界和人类的思维,突然跳升了一个层次。
你想想看原来人类的所有对世界的观察,都是基于牛顿的时空观,就是时间和空间这两个维度是绝对的,是恒定的。
你物体怎么运动,跟时间和空间有什么关系?
但是爱因斯坦得出来的结论是,时间也是相对的,所以叫相对论嘛。
当然罗胖在这儿是没有能力,把爱因斯坦为什么推出相对论,以及相关的原理说清楚的,我只能简单地根据我的理解,给大家讲这个结论。
就是我们生活在低速运动的环境里,其实就是适应牛顿的时空观的,就是一个物体它运动的速度,甭管是0公里每小时还是100公里每小时,时间一模一样对吧。
你坐着火车还是坐着飞机下了飞机一对表,时间还是北京时间这没有错。
可是当运动物体的运动速度达到极高速的时候,尤其在逼近光速的时候,时间会变的,时间会膨胀,它会慢下来,这就是著名的钟慢效应。
其实就有狭义相对论的一个运用,就是每天我们用手机去定位用到的GPS卫星,其实当中就有相对论的应用,为啥?
因为GPS卫星是人类打到太空当中的24颗卫星,为地面上的人服务嘛。
可是卫星在太空当中的运动速度就非常惊人,虽然距离光速还很远,但是毕竟也达到了每秒4公里这样的高速。
所以相对论在上面就起作用,每天这个卫星它的钟就要慢8微秒,这8微秒对GPS卫星这么高精度的要求,它就有影响啊。
所以现在我们用的GPS卫星在太空中,每天要把自己的钟拨快8微秒,这就是一个具体的应用。
更深的东西我也讲不了,大家有兴趣自己去看书。

因为它让整个人类的思维跳升了一个维度,所以爱因斯坦抛出这五篇论文的年份叫1905年,被称之为物理学史上的奇迹年。
物理学史上一共有三个奇迹年。
第一个是1543年,就是哥白尼发布他的日心说,大家觉得很了不起,整个颠倒了一个世界。
那第二个奇迹年是1666年,就是牛顿那一年,因为他躲避那个瘟疫,就跑到乡下去没事干,就演算各种数学公式,结果就在这一年,牛顿同时提出了三项成果,都是不得了的事,第一微积分,第二光谱原理,第三万有引力。
所以怎么他就突然能在一个人的生命当中,这么多重要的成果能够同时爆发?

让我们记住这一年吧,公元1905年现代物理学史上的奇迹年,这一年爱因斯坦26岁,按照我们一般人的想象,紧接着什么鲜花掌声美女,名和利就应该飞奔而来吧?
没有,爱因斯坦继续在他的瑞士专利局当他的小公务员,生活几乎没有发生变化。
当然也不是一点变化没有了,就在这一年爱因斯坦涨工资了,原来是三级技术员现在涨到二级,工资从3500瑞士法郎,涨到了4500瑞士法郎,为啥?
因为局长海勒先生特别欣赏这个小伙子,说他利用业余时间刻苦学习,居然拿到了博士学位。
但是我们得强调一点,爱因斯坦拿到的这个博士学位,跟相对论没有一毛钱的关系,这个时候相对论仍然是尘埃里的珍珠,是等待被发现的。

那这几年爱因斯坦在干嘛呢?
除了养他那个刚生下来的娃,他在继续找工作。
那你说他不是又涨工资了,工作还不错吗?
对呀,可是爱因斯坦终身心中有一个理想,就是我得进入学术圈我得当个老师。
可是当时瑞士的大学,如果你要进来当老师有一个条件,哪怕你是博士你也得先去当编外讲师,其实就是临时工。
就是欺负这些有理想的青年,编外讲师是几乎没有薪水的,他唯一一点收入是靠听课的学生打赏一点,那种打赏性质的讲课费来获得的。
爱因斯坦第一次申请,是伯尔尼大学的编外讲师,还被驳回了。
你表面上看,爱因斯坦送去了十七篇论文,自己的博士学位证书,还有自己的简历,按说成果非常丰厚吧,其他教授都觉得不错,人才。
但是有一个教实验物理的教授,说这哪儿行啊?
这个人只有论文,但是他没有未发表论文,啥意思?
就是你虽然过去有研究成果,可是你总得有点压箱底的货吧,这证明你在持续搞学术研究,你为啥没有呢?所以我不同意。
所以爱因斯坦就很郁闷回家又去准备,后来第二次申请,提交了未发表论文之后,才算通过了。
可是通过之后,你以为这事有多光荣吗,一个编外讲师,中国人经常讲临时工,他虽然在伯尔尼大学开了两个班的课,连续两个班的课,第一个学期三个学生,第二个学期四个学生,你想想看能有多少讲课费?
所以他的老婆就讲,这个事虽然很光荣,但是就那个薪水而言,这个光荣其实也不算什么。
确实爱因斯坦心中一直有这么个理想,在此过程当中他甚至去申请过中学教师的职位,要当一个中学物理老师,结果这个申请都没有通过。
所以你想想看这几年爱因斯坦过得有多背。

给大家讲两个小段子。
有一次普朗克,这是德国的大物理学家。
(他)的一个学生叫劳厄,这个人也不得了,1914年诺贝尔物理学奖的得主,他在物理学界成名比爱因斯坦早得多,这个人就不服气,因为老师普朗克经常夸这个爱因斯坦小伙子,那这个到底什么人呢?
我倒跟他盘盘道,所以就杀到瑞士来了,直接就跑到伯尔尼大学,说你们爱因斯坦教授的办公室在哪儿?
我要跟他讨论学术问题,说什么爱因斯坦教授,后来打听了半天,有人才说你是不是说专利局那小伙子,有时候也在这儿出没。
所以后来劳厄跑到专利局,才在二楼找到了这个其貌不扬,穿着格子衬衫,头发乱得跟鸡窝似的,这么一个小公务员,两个人才相谈甚欢。

还有一次,爱因斯坦的妹妹叫玛亚,跑到瑞士去看他,也是进到学校之后就问,爱因斯坦在哪里?
别人说,你是那个俄国人的妹妹,怎么是俄国人?
爱因斯坦出生在德国嘛。
因为爱因斯坦实在那身打扮显得太穷困潦倒。
他是犹太人,犹太人当时在瑞士,一般混得都不是很好,如果是从俄国来的犹太人就更是一片赤贫。
所以那个看门大爷向来就认为,爱因斯坦是一个俄国人。
所以你可见当时他有多么倒霉催的。

那为啥这么倒霉呢?
跟爱因斯坦自己的性格也相关,他不是一生想当老师吗,但他实在不是一个好老师。
在《爱因斯坦传》里我看到一个细节,说他上课的时候经常这样,就是一个人看着黑板乜呆呆发愣,几分钟一言不发,然后写上一行公式,又给擦了,然后又写上一行公式,然后底下写出一个结论,然后转过身去跟学生讲,说这样从这个公式到这个结论,中问有几步演算,这个演算呢我最近在想一件很有趣的事情,这个演算我给忘了,反正肯定对,你们自己回家演算去吧。
他就这么讲课,你说这哪是当老师的一个作派,所以你说这几年他不倒霉谁倒霉。
从1905年奇迹年开始一直到1909年,爱因斯坦才算是时来运转,这中间可又过去了四年。

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好,我们接着说爱因斯坦。
1905年是他的奇迹年,但是他的命运真的发生改变,是四年之后也就是1909年。
因为他好歹也是大学的一个学者了,虽然是一个叫什么编外讲师,然后就偶尔出去参加一些学术活动,他跑到德国去参加一个学术会议,见到了当时物理学界,德高望重的一个大师普朗克。
也不知道普朗克老头跟他说了点什么,回来之后他就跟变了一个人似的,马上就辞去了瑞士专利局的职位,然后就加入了当时叫,苏黎士大学的物理学系的副教授。
那你说这不就境况好了吗?
没好,你想副教授一个月的工资是4500瑞士法郎,他在伯尔尼专利局里面的那个工资也是4500。
那你说这算平调吧,不是,为啥呢?
因为当大学老师跟当小公务员不一样。
小公务员你平时穿得邋里邋遢,只要你的上司不指责你,你又不想往上爬,你这个钱是净得。
当大学教授不行,因为你好歹是有社会地位的人了嘛,你不能再穿成那个鬼样子了嘛,而且经常会有学生到你们家坐一坐,你好意思不端一杯茶出来吗对吧?
你好意思不留人吃顿饭吗?
所以其实当大学副教授,开销是要高得多的,这4500瑞士法郎对爱因斯坦来讲,其实收入是降低的。

当然实话实说,从此之后爱因斯坦的生活,和他的学界的地位,就平步青云一层一层地就开始升上去了。
刚开始是苏黎士大学,然后又去了布拉格大学,然后又回到了自己的母校苏黎士联邦理工学院,后来又渐渐地当上了什么,德国威廉皇家物理研究所的所长,当上了德国洪堡大学物理系的教授等等,就是一个物理学家在那个时代,在欧洲能给到的所有荣誉,渐渐地就都给了爱因斯坦。
那你可能会问就是爱因斯坦的成名,他到底靠的是什么?
除了相对论这么伟大的理论,他主要靠的是两点。

第一个,就是他进入了科学家的一个序列,而且那些老头们那些长老们,都开始提携这么一个年轻人。
大家还记得我以前讲过一套嗑吗?
一个人一生衡量他的成功,在不同的岁数是不一样的,三十多岁有人愿意用你叫成功,四十多岁开始有溢价才叫成功,五十多岁桃李满天下叫成功,六十多岁做到可爱就算成功。
所以你看二十岁的人和五十多岁的人,是最好合谋的,因为二十岁的人需要有人带,五十多岁的人需要有后辈认他为老师。
所以爱因斯坦这个时候,他在物理学界的那个地位,恰恰处于二十多岁,然后非常之,叫小荷才露尖尖角,那些老家伙们又特别愿意提携后晋。
给大家举个例子,为什么他后来从苏黎土大学去了布拉格大学呢?
因为布拉格大学有一个五十多岁的老头,这个人就叫马赫,我们现在知道音速那个单位,就是一个马赫两个马赫,就是这人。
他当时也是一个著名的物理学家,而且他也是率先对牛顿的时空观提出过怀疑的,所以他一看搞出相对论,这不就是承接我的衣钵吗?
这个年轻人我一定要把他收归为我的弟子,所以他就生生在布拉格大学,搞了这么一个叫理论物理教研室,然后聘请爱因斯坦来当教研室主任。
后来很多老物理学家跟爱因斯坦都是这样,一个长辈看待有出息的后辈,而且愿意隐隐然继承自己的衣钵,那就玩了老命地去提携。
比如说我们前面讲的普朗克,普朗克直接跟所有人都讲,说爱因斯坦这个人就是我们20世纪的哥白尼。
包括居里夫人说,这小伙子就是将来最伟大的理论物理学家。
你说这些人这样一讲那还用说吗?

在这儿我们就不得不提到一个会议,叫索尔维会议。
这索尔维是谁呢?
是当时比利时的一个化学家,同时也是一个工业家。
那个时代化学家是特别容易发财的,因为化学本身在蓬勃发展,而且化学的每一点进步,都容易产生出工业用得着的新材料,所以化学家一个配方出来往往就发财了。
这个索尔维就发明了一种制碱的新方法,所以就发财了。
所以你看那个时候的化学家,最有名的还有谁啊?
诺贝尔他就是因为发明了炸药,所以就发财了。
但这索尔维真的是不走运,为什么?
发财发迟了。
人家诺贝尔当化学家,当工业家发财之后设立了诺贝尔奖,成为响当当的至今一百年了,还非常有名的一个科学保护人。
而索尔维就因为发财迟了十年,所以这个时候他再想去当科学保护人的时候,就没有最大的机会了。
所以你看支持科学家要趁早,那诺贝尔奖第一届颁奖是在1901年,而索尔维动这个点子动迟了十年,所以他到1911年才想出一个办法,说我能不能开一个,全球顶级的物理学家的一个会呢?
这就叫索尔维会议,

第一届索尔维会议是在1911年开的,然后每三年一届。
那这个会议怎么开呢?
就是给全世界各个大物理学教授学者发请柬,告诉他们这趟来到比利时的布鲁塞尔来,我们坐的是头等舱,我们住的是大都会饭店的头等客房,然后还有豪华的会议室,来开会不白开还给1000法郎。
你看其实1000法郎还不多,这给我们现代发财的企业家一个重要的提醒,就是要资助这些人的时候要趁早,趁他们社会地位还没那么高的时候,赶紧花一大笔钱把这些人包养起来。
比如说现在中国的很多企业家,完全就可以包养几个知识脱口秀的主持人,现在便宜嘛。

好,第一届索尔维会议1911年就召开了,那来的都是谁呢群星璀璨,什么居里夫人、洛伦茨,包括爱因斯坦。
可是爱因斯坦这个时候,还非常之年轻,是里面最年轻的一个人。
所有的老头们见到爱因斯坦,摸摸头可能不至于,握握手,其中有一个比利时的科学家就跟爱因斯坦讲,当年你写明信片给我求着给我当助教,那个明信片我还留着,这张明信片我可舍不得扔,将来要放到博物馆里的,告诉后世,我这个老头当年是一个糊涂蛋。
每个人都在跟爱因斯坦这样讲,现在历史上还留下了,第一届索尔维会议的那张照片。
你看那个照片特别有意思,最旁边的这个人就是爱因斯坦,因为当时他的那个地位还没法往中间拱。
你看低着头那个人是谁啊?
居里夫人,那届索尔维会议上面的大明星就是居里夫人,居里夫人连镜头都懒得看低着头,跟别人商量事呢,这种照片爱拍不拍。

可是你看到了1927年,当索尔维会议进行到第五届的时候,你再来看这张照片,这张照片不得了,号称是当时20世纪最聪明的大脑的第一次大聚会,这张照片上就更是群星璀璨了,什么普朗克、爱因斯坦,什么居里夫人、薛定谔,包括后起之秀的波尔,全部在这张照片里。
那这张照片你去看爱因斯坦,有一个特别重要的变化,他老人家是坐在正中间的。
而居里夫人作为老一代已经偏到一边去了,这就是老家伙们对年轻人,长达十几年时间不遗余力的提携。
所以要想成名关键是要扎到这个圈子里,而且成为这个圈子年龄序列当中重要的一环,是有助于你成名的速度的。

那第二个爱因斯坦成名的速度那么快的原因,就在于1919年发生了一件事情。
那爱因斯坦的第一个奇迹年是1905年,他发明了狭义相对论。
十年之后在1915年的时候,他又提出了广义相对论。
广义相对论我们也是不懂,你甭指望罗胖把这个问题讲清楚,结论我可以简单地说,就是他重新解释了万有引力的来源,原因是什么他重新理解了空间,任何物体都是有质量的,而这个质量就会引起空间的一种变形。
用一个形象的说法吧,就是整个宇宙就像是一张弹簧床,任何有质量的东西旦放上去之后,就会引起宇宙空间的一个小的坍缩,如果质量非常大,那周边的空间就全部变形。
我们有物理学常识的人都知道黑洞吧,黑洞就是因为质量特别大,所以周边的空间就全部变形,什么都跑不了连光线都跑不了。

但是怎么验证广义相对论到底对不对呢?
当时的科学家们就提出来了一个试验的方法,就是如果外太空的那些星星,它们的光线传到地球的时候,如果正好经过太阳旁边,那太阳不是质量巨大吗,你不是说根据广义相对论的推论,它旁边的空间会出现一些变形吗,那这些星光经过太阳周边的时候,到地球上就会偏移一点点。
所以如果在日全食的时候,就是太阳被月亮完全遮住一片黑的时候,太阳周边的那些星星它的光线会不会发生偏移,那就是测定广义相对论是不是正确的一个好方法。
但是这个方法有一个问题,它必须是在日全食的条件下,才能够实施观测,而距离这个方法提出来最近的一次日全食,什么时候?
一直要到1919年的5月29号,那当时全世界各个国家当中,谁对这次观测最热情呢?
英国人,为啥?
英国人的心态非常之复杂。
那第一点呢,当然是出于那个科学的普世精神,人类的最根本的好奇心,我们要搞清楚真相。
但是其实还有另外一点,因为你爱因斯坦的相对论,否定的是我英国人的大宝贝牛顿的时空观,所以英国人就特别急于想搞清楚真相。
甚至当时舆论有这么一个说法,如果测定你广义相对论不对,那你爱因斯坦必须到伦敦来,在牛顿的墓前向他鞠躬道歉,如果你对了那牛顿就可以鞠躬下台。
所以你看变成一个较劲的事,所以同时夹杂着对真理的渴求,和德国人较劲的情绪,英国人就开始认真地准备这一次观测。
可是要知道1919年什么时候?
准备的时候正好是1918年,1918年什么时候?
第一次世界大战的最后一年,那一年英国人和德国人还是死对头呢,德国的潜艇还在围绕着英国的海岸线进行封锁,英国人民还饿着肚子呢。
但是英国人还真有这个劲头,真的就拨出了两艘船,委派当时剑桥大学天文台的台长叫爱丁顿,带领着两艘船去观测。
到哪儿去观测?
第一艘船去了非洲的肯尼亚,第二艘船去了巴西在地球的两个点上,以求得更加精确的观测结果。
那观测回来什么结论呢?
当然就证明广义相对论是对的了,所以很多英国的舆论说,你们测得不准仪器有偏差等等也有这个声音,但是英国的科学家非常明白,牛顿的时代终于要落幕了。
所以在1919年的11月6号,第一次世界大战结束之后将近一年,当时英国皇家科学院的院长开尔文爵士,我们在以前节目也提到过这个人,开尔文爵士在讲台上,他身后是一副巨大的牛顿的油画像,他就在那个讲台上宣布,牛顿错了,爱因斯坦的广义相对论才是正确的,我们的实验和观测结果已经证明了这一点。
这还得了,爱因斯坦立即就被推到了舆论风暴的中心,因为这个时候,既夹杂了英国人和德国人这种非常微妙的民族情绪,同时又夹杂了人类突然打开了一扇新的窗户,观察到一种跃升到另外一个维度的真相的那种兴奋。
这两股情绪就把爱因斯坦推到了20世纪最重要的科学家的宝座上,所以为什么1927年第五次索尔维会议的时候,爱因斯坦虽然很年轻,但是他坐在正中间。

一个科学家想要成名还有第二条,就是你的那个研究结果,它在本行当里的意义当然也非常重要,但最关键的是它能附属于某种社会情绪,那你就会变得成名更快。
当然听我拉拉杂杂说了这么多,我不知道你有没有觉得,我前面的讲述其实有矛盾。
你看爱因斯坦他成名非常之快,好像世界对他极其公平,对吧,我们就给你那么高的荣誉和地位。
可是为什么他在1905年奇迹年发生之后,一直到1909年,其中要花四年时间,他的个人境况才得以改善?
后面我们还要讲到,爱因斯坦得诺贝尔奖,又是一个极其艰难的故事。
那请问科学共同体这样的一个小圈子,对于那些制造巨大成果的人来说,它到底是公平还是不公平呢?

接着跟大伙儿聊爱因斯坦,爱因斯坦这个人前半生,为了获取学术界的认可真的是历尽磨难。
还记得我前面讲的1905年吗?
那是他创造的高峰期,也是现代物理学的奇迹年,但是在这一年,爱因斯坦本人的生活没有什么变化,唯独一项变化就是涨工资了,涨工资的理由是他作为一个公务员,利用业余时间勤奋学习,拿到了博士学位。
听着还不错,可是他拿博士学位的过程也是啼笑皆非的。
当时瑞士的大学有一个制度叫论文博士,就是你不必到我学校来当注册学生,不必上学修学分,但是你只要提交一篇有博士水平的论文,教授们认可仍然可以颁发博±学位,教授们一认可仍然可以颁发博士学位。
这套制度在中国可不行,你如果敢在中国这么干,什么那个局长司长一都能拿到博士学位。
但是在瑞士的大学制度下,这套制度还是运行良好。
那爱因斯坦就提交了论文。
提交的啥论文呢?
他提交到苏黎士大学的论文,就是后来的狭义相对论那篇。
可是教授们一看说看不懂还给你,那爱因斯坦只好回去,拿了他另外一篇论文也非常重要,但是意义上跟相对论就差得太远了,叫《分子大小的测定》交上去了。
教授一看这叫什么论文啊,大量的格式错误还有一些笔误,而且太薄了只有17页纸,你这个怎么叫博士论文呢,拿回去。
爱因斯坦只好拿回去改,把格式笔误都改掉,然后17页怎么办呢,又加了几段废话,最后充斥到21页又交上。
教授一看这还差不多,给你个博士吧,他这博士是这么来的。

所以你看像爱因斯坦这种人,他天生喜好自由对任何循规蹈矩的事情,也不是说他有多反感吧,他对军队很反感,对学术规范他就有点不在意。
他其实上大学的时候就这样,他们大学有一个老师是一个德国人,德国人是以严谨著称,叫闵可夫斯基,这个人是一个数学家,他就特别看不惯爱因斯坦经常不上课,交的那个作业把老师看得是火冒三丈,他甚至跟爱因斯坦讲了这么一句话,说你是一个永远不可能成功的人。
有一次在路上遇到他,说你是不是就是那个经常不上课的人爱因斯坦,说你不是搞物理学的料子,你去试一试什么医学法律,没准儿更适合你,你赶紧从我面前消失才好。
所以后来爱因斯坦搞出了相对论之后,什么?是那个人吗?
就是那个经常不上课的家伙,真的是让人啼笑皆非,或者说我难以置信。
所以你看爱因斯坦这个人,他和学术界的那种严谨的传统,他从一开始就格格不入。

那如果说到爱因斯坦获得诺贝尔奖这件事情,就更是让人觉得啼笑皆非了。
爱因斯坦是1905年提出了狭义相对论,然后也有识货的人嘛,他的一个老师奥斯特瓦尔德,在1909年就提名爱因斯坦,为诺贝尔物理学奖的获得者,提名理由狭义相对论,结果当年失败了。
又过了几年1912年、1913年,奥斯特瓦尔德继续提名爱因斯坦,继续失败。
到了1919年这已经是哪一年了,是狭义相对论提出来14年了,广义相对论都提出来4年了,这一年物理学界真正的大咖,大宗师级的人物普朗克实在是看不下去了,说老爷子我来提名试试吧,结果仍然失败,为啥?
诺贝尔奖委员会说,那个英国人爱丁顿,不正在派船去验证什么广义相对论吗,我们今年马上就得颁奖了,明年再说吧。
那就等一年到了1919年底,刚才我们讲的广义相对论已经被观测证实了,所以大家都觉得这个时候,爱因斯坦已经成了学术明星,成了社会公众人物已经登顶了,那第二年1920年的奖肯定跑不掉,结果到1920年的时候,诺贝尔奖委员会说,其实还有好多反对的声音,不着急再等等又等等。
到了1921年的时候,普朗克又开始提名爱因斯坦,当然这个时候他就留了个心眼,因为相对论这种事情,理论物理本来就是一种猜测对吧,你只要提反对意见的人还有,那这个事情看来不太靠谱,所以当时就灵机一动说这么地,咱们不提相对论行不行,就拿出爱因斯坦的另外一项成果叫光电效应,拿这个事作为诺贝尔奖获得者的一个理由。
但是诺贝尔奖委员会的那帮人也不是吃素的,以为我们不知道你什么意思吗?
你看啊,讲了好多当时乱七八糟的理由,比如说你普朗克刚刚作为一个量子物理学家,隔了没几年又颁给一个量子物理的成果,这好像不大对吧。
而且这个光电效应,它是一个实验物理领域的事情,而爱因斯坦他主要是一个理论物理学家,所以这个奖颁给他不大对吧。
总而言之找了大量的理由,1921年的诺贝尔物理学奖最后阴差阳错,出现了一个大家都目瞪口呆的结果,最后它决定空缺,说这一点我们干脆不评了,我算你们狠。
那到了1922年的时候这个时候真的是不行了,全世界几乎所有的物理学家讲,说再不颁给爱因斯坦不好意思了嘛。
当时一个法国物理学家就讲,说你们今年要再不给爱因斯坦颁奖,五十年之后后人们我们的子孙们,会怎么看我们这一代人。
所以当时已经变成了这么一个局势,就是爱因斯坦怎么获奖不重要他必须获奖。
后来还是普朗克那个老爷子有智慧,说这么地我来打个圆场,你看1921年你不是空缺了吗,咱们现在把1921年空缺的那个奖颁给爱因斯坦,1922年颁给一个更年轻的,当时也是刚崛起的一个物理学家叫波尔,这么不就皆大欢喜了吗?
所以爱因斯坦这个诺贝尔奖拿的真是啼笑皆非,你想想看他是1923年去领的奖,领的是什么奖,是1922年决定颁给他的奖,而且颁奖的时候只字未提相对论,好像相对论就不存在为什么,因为诺贝尔奖委员会认为,相对论又没有最后证实了,凭什么现在颁给你。

听到这儿你可能会勃然大怒,真可恨啊,像爱因斯坦这样不世出的天才,做出了那么重要的成果,居然被那些脑满肠肥的教授,傲慢的学阀,和诺贝尔奖委员会里面的官员们大人们先生们欺负,看来科学界也有黑暗势力啊,英雄有志不能伸这个世界是不公平的。
我今天想说的恰恰就是这一点,这不是什么反常现象,这就是科学界的内在规则。
请问什么是科学,它是一整套具体的结论,科学没有最终结论,科学仅仅是一种方法,它让我们知道什么是可信的一套方法,那什么是可信的呢?
有两种判断方法。
第一种就是硬梆梆的东西,比如说实验结论,比如说数据,这是一般来说科学依靠的那些。

可是科学也有一部分是需要靠人来认定的,这就是所谓科学共同体的力量。
在所有关于科学的严谨定义当中,一定有一条小尾巴,叫只要科学共同体认定的东西它就是科学。
你说不合理吧,凭什么他们认定的东西就是合理的呀?
那不是成了公说公有理婆说婆有理,还有什么客观公正的标准吗?
对不起,科学真的就有这一部分,没有客观公正,只有科学共同体的共同认定,为啥?
因为确实有一部分科学就是这样。

比如说爱因斯坦玩的理论物理学。
理论物理学考虑的都是什么尺度上的事情,光速运动下,什么像太阳那么大的质量下,周边发生的那些效应。
这些东西它只可能提出一套假说,只要他言之合理,有一些侧面的证据能够觉得,现阶段我们这套解释是最接近于观测的,那这就是科学结论。

比如说现代的理论物理学的那个大家,那个残疾人霍金。
霍金提出来的很多东西,比如说黑洞虫洞,还有什么现在最时兴的那个弦论,那些东西都没有办法验证,它就是一种假说。
那你能说它不是科学吗?
那请问这样的东西它要验证怎么办,那只好靠科学共同体,大家觉得我们都被说服了,这是到目前为止最好的一个结论,那这就是科学的结果。

再比如说数学界,你着中国1978年的时候,徐迟先生发表了《哥德巴赫猜想》,那是一篇报告文学,把陈景润的故事暴露在中国人的面前,一时名声大噪。
结果呢,结果就是中国科学院每年都要收到,好几麻袋的民间来信,说我也证明了哥德巴赫猜想,我的证明方法比陈景润还要好。
当然绝大部分,或者说这么说吧,所有全部是胡说八道。
那你说这有客观的结论吗?
没有。
所以这种学科,它一定靠的就是科学共同体的共同认定,它才能变成一个公认的结论。

你不就是瑞士专利局的一个公务员吗?
你提出这么一个匪夷所思的结论,你让大家马上认定你,怎么可能!
当然有一个漫长的对学术共同体的说服过程。
所以爱因斯坦前半生的很多艰难险阻,这就是科学的一个自然的过程。
科学界在这件事情上向来是非常的严谨,它是不是在刁难爱因斯坦?
它真的不是,它往往要等一个东西慢慢的,它的整体的社会效应出来之后,最后再去追认它的成果。

所以在诺贝尔物理学奖当中,经常发生这样的事情。
比如说2014年,颁给三个日本科学家的诺贝尔物理学奖,奖的是什么?
是他们在1989年发明的一个东西,就是高亮度的二极管,就是我们今天到处看到的那个LED灯。
还有你比如说,2009年中国香港的一个科学家,叫高锟也获得了诺贝尔奖,那奖励的是啥呢?
是他在上个世纪60年代,对于光纤发明的一种贡献。
他得知自己获奖的时候已经是一个老人了,而且都得了老年性痴呆,所以这不是一种残忍,这是科学的一种严谨态度。

说到这几有一个新问题就浮现出来了,那凭什么一小撮科学家,他们在小圈子里认定的结论就是靠谱的呢?
他们就不会串通起来欺骗我们人民大众吗?
因为中国人长年以来接受一个观念,就是一件靠谱的东西,一定基于一个客观的基础,而且是公开透明的,让人民群众能够共同监督的东西才靠谱,一旦牵扯到人治,它就是不靠谱的,不足信的。
请注意科学共同体有两个前提。
第一个前提,是它是现代科学思维下的共同体。
如果是那些算命的,看八字的,看风水的,什么朝阳区仁波切团体,那些一听说供养和双修就两眼放光的仁波切,他们也可以结成所谓的团体,他们也可以互相认定成果,这个不叫科学共同。
那第二,科学共同体它的构成者,一定是那些自由意志下的,有担当负责任的科学家构成的共同体。
给大家举个例子,有一个中国科学家,这是我听到的一个真事,他的学生快要毕业了,纷纷要出国,自己写好推荐信说教授给签个名吧,教授笑咪眯就给签名,甭管是谁学渣也给签。
可是签完之后他突然听说,这种推荐到国外之后是要被记录在案的,所以他冲出自己的办公室,又去把签名追回来,说我不能给你们推荐。
所以你看如果他不是基于自由意志,一个教授还要靠学生给自己打分,决定自己在这个学校能不能干得下去,一个教授对自己的社会行为,完全不负责任的情况下,他的这个签字跟一个屁也差不多,他就不叫科学共同体成员。
但是如果他意识到自己要对这个结果负责任,你看这样的教授他也会冲出去,把他的签名给追回。
所以责任和担当,是科学共同体构成的每一个人的先决条件。

在这两个条件下,那这个共同体的结论它就是可信的。
比如说我们前面讲的,爱因斯坦大学时代的那个老师闵可夫斯基,他前半生就看不起爱因斯坦,知道爱因斯坦搞出相对论来,就觉得很诧异,可是你知道他在临死的时候,就弥留之际他说了一句话,说我真不想死啊,在相对论刚刚发明的时候就死,实在是一个悲哀啊。
所以你看只要是一个有自由意志,能担当负责任的人,最后他是会被一个科学的结论说服的。

说到这儿,我们落实在中国当代一个话题上,这个话题和中医话题一样,号称叫割席断交第一话题,就是转基因。
我的身边的朋友都知道,罗胖是支持转基因食品的,为啥?
就因为科学共同体认定了。
你看有些我就不说他名字了,著名的主持人做各种各样的调查,你去看看他调查的都是什么人?
他不是主流科学家,当然会有反对的声音。
那你说转基因这样的事情,科学家说这事儿靠谱,一帮民间的公知那些根本就不懂,不是科学共同体的人,大声地反对,你说我们信谁?
罗胖没有相关知识,我就知道在我看到的所有材料当中,科学共同体认定转基因食品没有问题,应该推广,我就信他们的。
我不信那些公知的,和我喜欢的主持人的。

有的人说,罗胖你别在这儿搞科学邪教,你一个文科生有什么资格在这儿谈科学。
确实我作为一个文科生,我不懂很多科学知识,我深以为耻。
但与此同时,我以自己建立了对科学方法论的深度信仰,又引以为荣。
中国这个民族,说实话还没有被科学彻底地启蒙,还没有在科学思维当中被彻底地洗礼,这样的民族现在恰恰是没有资格去否定科学。
现在社会上有多少声音,说科学不是全部科学,很多错误,科学不如我们老祖宗留下的国学。
对于这样的人,我只想说一句话,无知不值得炫耀好不好。

那节目的最后接着卖书,今天我们讲的全部内容都是从这两本书当中,上下册《爱因斯坦传》。
这本书被我们推荐的理由两个。
第一它的作者艾萨克森,是美国当代最牛逼的传记作家,他的作品包括前一阵大卖的《乔布斯传》,还有《罗辑思维》独家发售的《富兰克林传》。
这本《爱因斯坦传》也是我们微信公众号里独家发售。
这是第一个原因笔法极好。
第二个原因,爱因斯坦作为人类科学的图腾,真的,他的传记我们每一个人都应该拥有一本。

罗辑思维:费马大定理 85

感谢各位来到罗辑思维捧场。前不久我们公司的CEO,脱不花妹妹在跟我闲聊工作的时候说到一句话,她说,看来我们这盘小生意再要往下发展,我得去打入那些互联网产品经理的圈子,去跟他们学一学互联网产品经理的思维。

你看,挺普通的一句话吧?但是落到我耳朵根子里,心里可不是滋味了,为啥,因为这个方向我也知道,但是我扪心自问,过去几年间,我自个儿何尝起心动念我也往那个方向发展,学习学习,我也去跟那帮人打打交道,去提升一把自己呢,完全没有。这说明什么?说明一个四十刚刚挂零的老男人,已经对新鲜事物丧失挑战的勇气了,这就说明,老了嘛。

你看,很多人给家里的老人买个新电视机,老人往往去研究一下那个新式遥控器的兴趣都没有,你说一定是智力问题吗,不一定,他就是因为新事物和他过往的知识结构、和熟悉的世界不匹配,不匹配,他就天然地去抗拒,这就是老了嘛。

2014年,这种给我刺激的时刻很多,比如说世界杯期间,我经常睡到半夜被吵醒,窗外一声暴喝,我知道,那就是哪个球队进球了嘛,但是对于一个胖子来说,因为他肯定不是球迷,我小学二年级就挂靴了,你可以想象,一个胖子在球场上驰骋,那是对自尊心莫大的摧残,所以球迷的那个精彩绝伦的世界我完全不懂,此情此景就有点像是一个学艺不精的崂山道士,面对一堵墙,你明知道墙外风景无限,但是你就是穿越不过去。

所以这就让我想到了美国将军麦克阿瑟讲的一句话,他说老兵不死,他们只是凋谢。这句话当然是夸奖老兵的了,但是你不觉得这句话在这个新鲜事物层出不穷的时代,又可以有一番全新的解释吗,就是有些人他虽然没有死,但是因为他的生命开始封闭,所以他已经凋谢了。所以对我们这个岁数的老男人来说,最大的挑战就在这儿,能不能把生命再次打开,去接受那些全新的事物,因为我们在少年时分,可能因为各种各样的条件限制和某些领域擦肩而过,但是我们成年之后,能不能勇敢滴向那些陌生领域挑战和进发,至少保持那么一丢丢的好奇心呢?这也是生命质量的保证啊。

所以今天的罗胖就鼓舞起余勇,抖擞起鼠胆,今天我们去挑战勇敢我完全不懂的领域,那就是数学,而且是数学当中勇敢高精尖的领域,叫费马大定理。

当然了,我之所以今天有这份胆量敢讲这个话题,要感谢很多人,感谢在知识传承和演化过程当中的那些做普及化工作的人,比如说今天要推介的这本书,当然我没有带来实体书,看的也是电子版,就叫《费马大定理》,把数学界的那些高精尖的知识用各种各样的故事,讲给普通人听。也要感谢我们本期节目的策划人,毕业于四川大学数学系的康宁先生,正是因为他们的帮助,今天罗胖才能够有了这些拐杖,抖擞起鼠胆,给大家讲这个话题。

好吧,先给大家看一个公式,向毛主席保证,今天整期节目,讲这么高深的数学问题,只出现这一个公式,向大伙保证。这个公式大家都看得懂了,勾股定理嘛,直角三角形的两条直边,X的平方,加上Y的平方,等于那条斜边的平方,这基本上学过数学的,就不可能不知道这个定理。要知道我们中国人发现勾股定理很早了,要根据文献来看,商朝的事。但是要知道中国人我们现在讲的数学,你去看中国人早年就有很丰富的数学的典籍,我们都知道,什么《周髀算经》、《九章算术》,但是你一看它的章节结构,你会发现一个鲜明的特征,就是中国人的数学是为了实用。

你比如说《九章算术》的目录,比如说什么方田、均输、商功,它都是解决比如说丈量田地,怎么算粮价,怎么算这个做工,工程里面的土方的数量,它都是解决实际问题的,中国人就是这样一个实际的民族嘛,你只要知道怎么用,比如说勾股定理,在中国传统的古书中告诉你,勾三股四玄五,基本上告诉你,平方,等于,就可以了,你就拿去用,中国人很少去较这个死理,说为啥呢?它就是这样嘛,为啥有什么用,没有用的事情,我们中国人是不去操心的。

所以在世界主流的数学史当中,也可能,因为我也不懂,也可能是西方人搞种族歧视,总而言之,中国人是没有太多地位的,让我们气炸了肺的一件事情是1972年,有一个著名的数学教授叫克莱因,写了一本著名的数学史的著作,叫《古今数学思想》,居然在序言里说了这么一段话,说为了不让本书的素材漫无目的地铺张,所以有些民族的数学我们就给自动忽略,哪些民族呢?比如说中国、日本、玛雅人,我靠,中国人和日本人和玛雅人搞到一起了!他说他们的数学对世界人类的主流思想,是没有什么贡献的。

这个说得真让我们中国人不服,但是如果我们真的回到数学历史的主流,你会发现至少中国的数学或者说算学,跟世界主流数学,确实它的目的就不一样。好,那让我们切换到古希腊,也就是西方数学的源头,去看看他们的数学是怎么回事。

提到古希腊的数学,就不得不提到一个人,叫毕达哥拉斯,要知道勾股定理在西方就称之为毕达哥拉斯定理。那么这个区别在哪儿呢,区别不在于结论,而在于他们要证实这个结论。你说那不是死心眼吗,对,西方数学,你去学它的历史,它就是一个死心眼的历史,甚至我们追问的更狠的话,它甚至就是一个像宗教般的、是已经剔除了理性的,完全的一种迷狂的历史,是一种不出于实用的目的,一种完全的智力上的比拼竞赛,用佛家的讲法,完全是一种贪嗔痴。

你比如说,世界上一些著名的数学问题,比如四色问题,啥意思呢,就是他们发现,画任何一个复杂的地图,我们只需要四个颜色 就可以,因为不同的行政区或者国家你要用颜色把它区别开,再复杂的地图只需要四种颜色。要中国人看,那不就可以了吗,知道这个结论,我们画地图的时候备四种颜色就可以。西方人要问,为啥?我靠,知道这个为啥,为啥呀?!但是他们就在问,而且这是一个著名的数学难题。

再比如说哥德堡七桥问题,说哥德堡这个城市有好多河流,这个城市里面有七座桥,那我们如何不走任何一次冤枉路,用一次把这七个桥都能通过可能不可能,他们在琢磨这个。对于一个中国游客来说,这不是神经病吗,有功夫琢磨这个问题,不如把一座桥走两趟,也把整个城市观光了,不就完了吗。所以你看,这是一个实用主义和一个智力竞赛之间的区别,在一开始,他们就分道扬镳了。

说到毕达哥拉斯这个人,我们都知道他是这个定理的创作者,但是你真的去看他的生平,你会发现他哪是什么数学家,整个是一个邪教头子。毕达哥拉斯大概出生在公元前500年左右,这个人他创立的所谓的毕达哥拉斯学派,你今天好像以为是一个大学系主任的角色,不对,人家是一个教主,他们觉得自己的智力特别高尚,因为我们会玩数学,他们从数学当中感受到了整个世界的那种美妙。在他们看来,数是什么,数是整个世界的规律。

你比如说他认为1是世界之母,万物之母;而二呢,2代表意见,你看它跟1不一样,所以它对1有意见;3是什么?3是世界万物的形状,所有的桌子腿有3个它就支得住,所以这是世界万物的形状;4,4代表正义;5呢,5正好是两个偶数和一个奇数,所以代表婚姻,等等,他们把整个数都按这套理论给解释。

而且毕达哥拉斯确实在世界万物当中,这咱们也得说,那个时候的人他的生活多单调啊,又没有卡拉ok,又没有电影院,又没有小三可以找,那个也许有,但是总而言之,那么单调的食物,那么单调的生活,对他们的精神世界来说尤其是对那些高智商的圣贤来说,那个智力总是充裕的,所以他总要找到这个世界让他兴奋的地方,数这个东西,落到毕达哥拉斯和他的门徒的手里觉得,我的个老天,我发现一个全新的世界,原来上帝、天神是通过数,来统治这个世界的。

在他看来,整个世界、星空、宇宙,就是上帝在弹拨的一个大竖琴,因为他发现音乐也是跟数有关的呀,音节那不就是数吗?什么叫合音,两个声音搁在一起特别好听,是什么原因?是因为一根弦和另外一根弦有整数倍的关系,两个声音就好听,不是整数倍的关系,两个声音搁一块就不好听,这不就是天神给我们的暗示吗,我们整个世界就应该在数当中生活呀,我们的生命就应该奉献给祭祀给这些上帝给我们的数啊。

所以你去看,毕达哥拉斯学派实际上到后来就是一个邪教,因为他定了很多规矩,跟数就没什么关系,随便给大家说一点,那个单子特别长我看了。比如说他们要求教徒不准跨过门槛,不准碰见白公鸡,看见一个面包不能掰开来吃,但是又不能吃整块的面包,不能弯腰去捡东西,不能走大路等等,定了很多这样的规矩,是一个神秘主义的、有着严格纪律的教派。

这里面还牵扯到一个故事,这个是数学史上著名的,叫第一次数学危机。那这一次危机是怎么回事呢?话说人家毕达哥拉斯有一个终生的信仰,就是整个世界的数都是由整数构成的,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,就这些东西。你说还有小数呢?没错,但是你比方说0.8,它不就是4除以5的结果吗,所以它的根子仍然是整数。

这个结论出来之后,就轮到一个倒霉蛋出场了,他的名字叫西帕索斯,他是毕达哥拉斯的一个弟子,他跑到黑板前一看,呀,老师啊,这个公式好美妙哦,你看3的平方加4的平方等于5的平方,那如果是1的平方加1的平方,等于几的平方呢?在我们现代人看来,那就等于根号2的平方呗,那就算吧,根号2是几呢,算来算去,出大事了,原来根号2是一个没头没尾的数,是1.414等等等等等,没头没尾,没完没了,那你老师不是说,世界是由整数构成的吗,怎么会冒出来这么个魔鬼呢?毕达哥拉斯说慢着,慢着,我这脑子转不过来,让我想想,想了半天说,这么着吧,我们把西帕索斯给弄死吧,于是带领门徒把西帕索斯给扔河里淹死了。这就是历史上的第一次数学危机。

因为对于中国教派来说,它是一个人间的组织,可是数学最美妙的地方,就是它独立于人存在,它是一个似乎由上帝写就的基本规律,甭管你是一个屌丝还是一个大学教授,还是国家的院士,面对一个数学的结论,谁都是一翻两瞪眼,没法否认,所以作为一个人间教派的拥有权威的毕达哥拉斯来说,它完全无法接受这样的颠覆,所以怎么解决呢?就把人弄死嘛,这个问题就不存在了,从此世界又月白风清了。

其实为了这种破事去杀人,在古人的世界里很常见的,因为有些东西对我们今天来说,就是一个娱情遣兴的东西,是一个小的个人爱好,但是对于古人来说,它可是整个生命的托付,它甚至是一个信仰。比如说中国古代就有这么一件事,就是宋之问,这是一个初唐时分的大诗人,他跟杜甫的爷爷杜申是齐名的。要知道,对于初唐人来说,作一首好诗,那是整个人格承载外在声誉的一个重要的载体,有一天,宋之问就在家里坐着,闭门家中坐,客从外边来,他外甥来了。外甥来了,一进门就大呼小叫,说舅舅啊,舅舅啊,做了一首好诗。念来听听?年年岁岁花相似,岁岁年年人不同。好诗!宋之问想了想说,外甥啊,跟你打个商量,你看我跟你娘是亲兄妹,你能不能把这首诗算我写的啊?外甥说那可不成,那怎么行呢。宋之问又想了想,那干脆,弄死你吧!就果然,拿大棒子把他这外甥给弄死了,先击昏,然后拿大土囊生给压死了。为什么拿土囊压?没有伤口嘛,还是有一些智力的。这是中国古代诗坛上的一个事,但是说白了,很多我们现代人觉得稀松平常的事,对古人来说,可是生命的大事,是足以让他鼓起勇气谋财害命的事,对毕达哥拉斯就是这样。

所以你看,古代西方数学的源头,它是一个近乎迷狂的宗教思想。当然随着历史的演进,渐渐地数学走出了自己的道路。它虽然脱出了宗教,但是在中世纪的时候,你会发现很多数学家,他之所以研究数学,就是一边感受数学的美好,一边去赞叹上帝的伟大,居然创造了这么美妙的一个系统。

比如说我们学平面几何都知道,由那么简单的几个公理,居然可以推出如此缤纷的一个定理的世界,这不是上帝他老人家,谁有这般神力哪个创造这样的奇迹呢?所以数学家往往是一边在草稿上演算,一边在心里崇拜上帝。但是到后来,很多数学家完全就演变成一种智力上的优越感了,很多数学家都是这样,包括我们伟大的革命导师马克思,你以为他专写革命著作的吗?闲暇时分,人家也用做数学题的方式,给自己提供一种休闲娱乐。

再比如说著名的数学家高斯,这个人出生在18世纪,但是生活的主流是在19世纪,1855年死的。高斯这个人就是这样,他一生解决了无数的数学难题,他最得意的叫正十七边形尺规作图,你听这词都怪,啥意思呢?就是四方形,就是正四边形,做正十七边形,如果只给你两样工具,一个是圆规,一个是没有刻度的尺子,就这两样东西,你能不能画出一个正十七边形?

要知道,这是一道著名的数学难题,从古希腊的时候就把阿基米德难住了,在近代的时候,牛顿也没有解开,人家高斯天纵英才嘛,数学老师给他布置了当晚的三道题,前两道题轻松就解开了,这道题难一点,人家也就用了一个晚上,就给解开了,他解开的时候都不知道原来牛顿都没有解开过。所以人家高斯临死的时候说,哎呀,我的墓碑上别的就不要写了,画一个正十七边形吧!所以你看,数学是什么,数学就是那些高智商的人秀智商的一个工具。

当然,就今天我们讲的这个话题,叫费马大定理,人家高斯一生也没有解开过,当然,对于一个又智力优越感的人,高斯这个人有同行的数学家评价他,说这个人讨厌得要死,他每次证明一个定理的时候,都会像那个老狐狸走过林间,会用自己的大尾巴把后面的痕迹给扫得干干净净,你就看到他证明的那么漂亮,但是他的思路,他永远都不告诉你!你看,这不就是很典型的一个秀智商的人吗?高斯这个人遇到我们今天这个主题费马大定理,他就一生都在表示,这个问题不重要,这个问题不值得我出手!但实际上,费马大定理有任何一点点滴的进展,高斯都会聚精会神地跑过来看看,到底怎么回事?所以说明费马大定理是一个让高斯这样的高手都踌躇为难的大难题。

那这个费马是何许人也呢?他是一个法国人,出生在1601年,他的父亲是一个当地著名的皮革商人,家里有钱嘛,就逼着孩子考公务员,今天中国的年轻人都懂的,家里就逼着他当了当地的图卢兹议会的一个公务员。但是他一生命又特别好,因为当时的法国鼠疫大横行,很多高阶的公务员路线都死了,所以就给他腾出一条官场上的康庄大道,所以这个人迅速就当上了图卢兹议会的大法官。

但是因为高智商的人嘛,往往有强烈的优越感,不愿意跟外面的人七搭个八搭个,所以公事之余,就在自己的书房内去演算数学题,而且当时的历史背景,英国人和法国人互相看不顺眼,所以这个费马没搞出一个定理,他都会给当时的英国数学家给寄一份,说你看,哥们儿又玩了这个,你们会不?!所以把当时同时代的英国数学家给气得半死。

这个费马大定理是怎么回事呢?有一次,他可能是在晚上,突然想明白一个规律,然后他就在一个书的边角上写下了一句话,他说了这个规律,然后说,我发现一个特别好的简洁的、美妙的证明它的方法,但是这里太小了,我写不下!你看,真是气死人。费马大定理,费马认为他可以证明,但是因为太小了,所以写不下,所以他没有证明给你看,这就是那些高智商优越者那个讨厌之处。好,我们来解释一下,什么叫费马大定理。

再来看这个公式,X平方+Y平方=Z平方,这是勾股定理。但是如果把平方这个数,就是这个小2,换成2以上的数,费马认为它就不成立,换句话讲,就是任何一个数的立方以上,加上另外一个数的立方以上,就是3次方、4次方,就不可能变成一个整数的立方以上的数。举个例子讲,5的5次方,加上5的5次方,你永远不可能写成任何整数的5次方。就这么一个定理,就是费马大定理,这个难题难倒了人类300多年。但是费马在临死之前没有留下片纸只字,把自己曾经想到的那个美妙的证明给写下来。

这就让我想起了老舍的短篇小说里,就一篇叫《断魂枪》,那个断魂枪的枪手一生武艺高强,临死的时候,年老的时候,他抚着枪樱说,不传哪,不传!

今天的罗胖抖擞起鼠胆去谈一个自己完全不懂的话题——数学,而且是数学当中的高精尖命题——费马大定理,我们接着聊这个费马。费马出生在1601年,一生活了64岁,1965年的时候,撒手尘寰而去,从此成为人类历史上最著名的业余数学家,因为他的本职工作是大法官。他死了之后,留下大量的数学谜题,但是随着人类数学技术的进展,逐步都被解决了,唯独以他姓名命名的这个费马大定理,死活纠缠人类300多年,没有答案。当然了,在这个过程当中,也不是没有点滴的进展,比如说他同时代的人就在想啊,你费马本人不是吹过牛吗,说我有一套简洁而美妙的证明方法,只不过此处写不下,所以我就不写了,那好,你此处写不下,没准儿你活着的哪一天,你一时手痒,在彼处给写下来呢?

所以他死后,很多人就在他手稿当中去翻找,看他有没有留下蛛丝马迹。找来找去,还真的就有所收获,大家发现,费马在他生前曾经证明过这个公式,就是这个2变成4的时候,费马大定理是成立的。换句话讲,任何正整数的4次方,加任何正整数的4次方,不可以被表述为任何正整数的4次方,这个已经被证明了。那好,有了这么一个良好的开端,我们就一点一点地往下拱呗。

在费马出生之后又100年,1706年,又出生了一个大数学家,叫欧拉,欧拉也是欧洲数学星空当中一个璀璨的巨星,曾经留下过著名的欧拉公式。欧拉在费马的方法上略做修改,证明了3,你不要小看3和4,虽然只是这两个数,但是证明了3,就可以证明9次方,证明了4次方,就可以证明16次方,所以在正整数这个族群当中,其实有很多数已经被这两人解决掉了。

但是,你要理解费马大定理的真正的难处,就是你解决任何单个的数,解决得再多都没有用,因为数学上有一个魔鬼,叫无穷大,就是不管你证明多少数,那再加1呢?那个数还成立不成立?就在最近的数学史上就出现过一个这样的事情,在一个很大很大的数突然证明某个公式不成立,所以整个公式被推翻掉,这样的事情在数学史上可是不罕见的。所以费马大定理如果这样一个一个的证明下去,它哪天是个头呢?

所以你看,在欧拉之后的又将近100年,人类证明5和7的情况下,费马大定理是成立的,到了1955年的时候,我们已经可以证明在4002次方以下,所有的正整数下,费马大定理是成立的;到了1985年的时候,甚至我们可以借助计算机技术,证明在4100万次方以下,所有的正整数费马大定理都是成立的。但又如何呢,再加1,那个数字,费马大定理是不是成立呢,不知道,这就是费马大定理的难处。

这个难哪,可真是难了好几百年,那过程当中,其实也出现过曙光,最亮的曙光出现在19世纪中期,一个法国姑娘,著名的数学家热尔蔓,曾经展示过这个曙光。请注意,刚才我谈到这个热尔蔓,是一个女数学家,在这儿我打一个岔。

其实人类的很多智力领域,女性都进不来,为啥,男权社会嘛,比如说物理、化学、战争、政治,他都可以用一些硬条件,比如说不给你做实验的条件,不让你上战场,把你排斥在外。但是有两个领域,你很难杜绝女性去展示她的才华,在文科就是诗歌,在理科就是数学。为啥,因为不需要借助任何其他工具,对吧。我们上大学的时候,你会个吹拉弹唱,那说明你小时候家境还是不错的,你好歹买得起一个口琴,或者一台钢琴吧?但是唯独诗歌和数学这两样,你不能排斥那些穷苦家庭的孩子,因为人家需要一张纸就够了,所以你看,中国古代的诗坛上,比如说蔡文姬,李清照,这样的女诗人、女词人,可以出现;在数学史上,西方数学史上,就层出不穷一些女数学家,你没有办法抵挡或者阻挡她们才华的抒发。

比如说在毕达哥拉斯学派当中,他们就不排斥女性,他甚至有28个女弟子,其中最著名的叫希诺,希诺因为学习成绩好,最后毕达哥拉斯就说,哎呀你成绩这么好,怎么办呢,我怎么奖赏你呢,这么着吧,我娶了你吧,这是跟杨振宁博士学的。

在欧洲中世纪当中,也出现过一个著名的女数学家,叫希帕蒂娅,这个希帕蒂娅已经牛到什么程度?就是你们爱信基督、信上帝,我就不信,我就跟数学搞在一起。所以她有一句名言,说你不要看我没有结婚,我早就订婚了,我嫁给了真理!当时那些认为真理在握的是什么人呢?基督教徒啊,说我们上帝他老人家才是真理,你怎么跟个数搞在一起呢,所以跟她辩论,辩论又辩不过,最后气急败坏,在当时的大主教的挑唆下,他们干了一件事,就是沿途把这个希帕蒂娅给截住,她乘马车出外,截住,然后就生生地把她杀死在当街,甚至把她的尸体进行了分割,投在火中去烧掉。

所以你也去看,就是任何时代的人类的组织和意识形态信仰,它没有办法挑战数学,因为数学是独立于人类之外存在的一个真理体系,它永远是对的,他挑战数学没有用,你只能气急败坏,像一个懦夫一样,把那些亲近数学的人,本人从肉体上消灭掉,但是数学你仍然否定不了,这就是数学的伟大之处。

你看刚才我们提到的,这个19世纪中期的女数学家热尔蔓,她就是法兰西历史上第一个,以自己的本名被载入学术史的女性。你比如说后来,甚至20世纪著名的大科学家居里夫人,她本人叫什么,你是不知道的,你知道她是居里先生的夫人,都不是用本名载入科学史,但是热尔蔓做到了。你说热尔蔓到底在数学史上做多大贡献呢,据说是非常大,但具体怎么大,罗胖子不知道,我只知道她大概的思路,就是咱们别犯那个傻了,咱们证明费马大定理,咱能不能别一个一个数,咱们能不能找一个统一的方案,一旦证明,就所有的数都能证明,所有热尔蔓实际上提出了证明费马大定理的一个全新思路。

这个思路一提出来之后,当时整个法国数学界就又兴奋起来了,因为大家觉得曙光在前头,马上就可以解决费马大定理了,因为热尔蔓的贡献。所以当时法兰西科学院就拨了一大笔奖金,说既然已经突破在望,我们就给点儿狠的,给一个大的诱惑,俗话说的好,眼珠子是黑的,银子可是白的!所以当时法国数学界很多人都把精力投向了费马大定理。其中有两个佼佼者,一个叫科西,一个叫拉梅,这两个人可是分头工作的,但是他们都把自己的研究成果写在纸上,密封在信封里,给法兰西科学院寄去了。

法兰西科学院一看不错啊,看来这块肉有可能烂在我们法国人自己的锅里,法国人费马提出来的,由法国数学家来证明,当时就请了另一个著名的数学家叫库默尔,来验证他们俩的成果到底对不对。谁能拿到这笔奖金?结果密函打开,库默尔讲了一番道理,证明你们俩说的全是错的,而且库默尔还往前走了一步,他精确地证明了,用当时的数学工具,人类根本就无法证明费马大定理。这也是数学的进步,但是对于费马大定理来说,这可是一个空前黑暗的时刻,因为刚刚亮起的黎明有熄灭了。

这时光荏苒,又过去了几十年,法国人解决不了的问题,现在轮到德国人来推动。在20世纪初有一个德国的企业家,说白了就是一个富二代,他的名字叫沃尔夫斯凯尔,他年轻的时候特别的多情,爱上了一个姑娘,跟人家表白了,结果被姑娘无情地给拒绝了,这沃尔夫斯凯尔就受不了了,我就特别不理解这种人,受不了,不就是一次失恋吗,他居然要自杀,啪把枪搁这儿了,说今天晚上午夜12点我开枪自杀,死前,我做一点工作,写点遗嘱什么的。结果德国人你知道,他有一样好处,就是工作效率特别高,结果早早地就把什么遗嘱、身后的安排都做完了,没事干,离12点还有几个小时,就随便在身边抓起一本书,这本书是什么,就是半个世纪前那个科西和拉梅解决费马大定理思路的那本书。结果一看,有意思,看着看着就入迷了,看着看着就把午夜12点这个时间给错过去了。等他发现这一点的时候,这个沃尔夫斯凯尔又不想死了,因为这个问题很有意思,我还没有解决了,所以又把那个姑娘给忘了,从此开始解决这个问题,当然了,他是个业余的嘛,又不是像前面我们讲的费马那么著名的业余数学家,所以他当然对这个问题的解决没有帮助,但是他从此感念费马大定理给他的救命之恩,所以在1908年死的时候,这个沃尔夫斯凯尔,就把自己一生积攒的所有财产设立了一个基金,谁解决了费马大定理,这笔钱就归他。

所以在二十世纪初的时候,在全世界的数学界又兴起了一股热潮,解决费马大定理,而且从此让费马大定理成为数学史上最著名的难题,因为这背后有银子嘛。所以当时全世界很多人都给这个委员会写信,我解决了!我解决了!其实改革开放之后,中国也有一个著名的数学家陈景润,不是解决了哥德巴赫猜想当中的一个猜想吗,所以当时很多中国的叫民间数学家,也给中国科学院数学所去写这样的信,说我解决哥德巴赫猜想了,据说每年可以收到几麻袋。

这个情况在费马大定理二十世纪初的时候,也出现过一次,以至于整个委员会主持的教授不得不后来印了专门的明信片,就说,中国上面就印好了,说您寄来的论文在某页某行这儿就错了,所以你的证明是错的,所以你拿回去吧,奖金和你没有关系。据说这种明信片堆起来有三米高,就是一层楼那么高。所以当时全世界的数学业余爱好者和一些妄人,都试图去解决这个问题,但是很可惜,虽然这个问题越来越著名,但是距离它的解决似乎是仍然是遥遥无期。那什么时候解决的呢?其实距今并不远,就在1995年,解决它的人既不是法国人也不是德国人,是一个在美国生活的英国人,他的名字叫怀尔斯。

经过300多年的跌跌撞撞,走走停停,费马大定理终于走到了它这场接力赛的最后一棒,这一帮交到了美国普林斯顿大学数学系的教授手里,他的名字叫怀尔斯。这怀尔斯可不是美国人,他是英国人,小的时候,10岁的时候,他就曾经遭遇过费马大定理,但是那个时候大家可想而知,小男孩有心无力,所以后来就放下了。

但是这一段缘分却使他对数学产生了强大的兴趣,所以他后来成为一个职业的数学家,不过他研究的领域跟费马大定理没关系,他研究的是一种叫椭圆曲线的学问,你要是问罗胖子椭圆曲线是啥?我也不知道,总而言之,和费马大定理在数学里面是完全不同的两个分支,你说这奇怪了吧,怎么解决费马大定理的,好像是一个外行呢,没错,其实人类的很多顶级问题的解决,往往都是这个特征。

第一,往往是历代的人为它的最终解决铺就了台阶,只不过这个台阶往往铺就了,但是搁在那儿很多年没人发现它的价值,隔了很多年,突然有人灵光一现,福至心灵,把此前的成果转化为自己的光荣。

第二个特点呢,就是往往是穿越过来的一个外行,歪打正着,这叫有心栽花花不发,无心插柳柳成荫,最后解决这个问题。

在费马大定理和怀尔斯之间,就非常典型地体现了这两个特征。我们这个故事再往下讲,可能牵扯到很多人名,听我们这一集的人往往觉得人名特别多,这也是没办法的事。给怀尔斯铺就第一级台阶的,其实是一个生活在将近200年前的人,又是一个法国人,他的名字叫伽罗瓦,这个伽罗瓦大家想想,19世纪初年,他可是一个激进的共和主义者,用我们今天的话讲,就是一个愤青,因为政治观点跟很多人产生激烈的摩擦,不过这个人身上还带有法国人的一个非常可爱的特征吧,就是好色,他跟各种姑娘勾搭来勾搭去,最后勾搭上一个姑娘,结果惹祸了。

这个姑娘的未婚夫是法国当时著名的一个枪手,这个枪手说,我的女人你也敢动?那二话不说,决斗吧。按照当时的风俗,你又没法拒绝,或者是按照自己的那种荣誉感你没法拒绝这场决斗,但是对方是最好的枪手,你肯定是个死。所谓的决斗场,其实就是你的死刑场。

所以这伽罗瓦就特别的抓狂,伽罗瓦这个人其实他不是职业的数学家,他当时学数学也不过刚刚五年之久,但是他确实是一个天才,他的脑子里在酝酿一个全新的想法,所以在第二天就要上刑场了嘛,头一天晚上,他就写就了一份手稿,这份手稿,他就把酝酿在脑子当中那个拉拉杂杂也不太清晰的想法进行了一种非常混乱的表述。而且在这份手稿当中,据说,反正我也没看过,据说这份手稿当中还零星递夹杂着一个姑娘的名字,这就是法国人留下的绝笔。后来第二天他就死了,然后这份手稿就这么留下了。

又过了很多年,是另一位数学家才发现了这份手稿,然后惊为天人,把这份手稿的整个思想又用一种条分缕析的方式给他表述出来,后来,这个思想就成为数学史上非常重要的一个理论支派,叫群论。你要问群论是什么,我也不知道。向我们的策划人请教半天,大概是这么个意思:就是有时候解决数学问题,你别试图一揽子解决,或者是单个解决,往往都不行,往往要采取一种多米诺骨牌的方法,就是我推倒第一个,那顺便压垮第二个,然后一串就都能解决。你看,在正好跟我们前面讲的费马大定理的能够特征,是不是正好吻合,这把钥匙,好像就能开另外一把锁。这是伽罗瓦,这是给怀尔斯铺就第一块阶梯的人。

那第二块阶梯是谁呢,是两个日本人,说到这你可以看出,费马大定理好像是人类的一个智力游戏,但是它是一个全球高智商的人一个接力赛,是在300多年的一个历史跨度里,是在全球的一个协作场景里完成的。

这第二块台阶的铺就者是两个日本人,一个叫谷山丰,一个叫志村五郎,他们俩的数学成就基本上都是二战刚刚结束在日本完成的。大家可以想想,当时的日本已经被美国人炸成了一片废墟,所谓的教育,所谓的学术,基本上是从废墟上重新白手起家开始,所以谷山丰和志村五郎做出他们的成就是不容易的。

那谷山丰和志村五郎他们二人的成就是什么呢?他们提出来一个猜想,也就是在数学的两个分支,一个叫椭圆曲线,一个叫模形式之间,存在这一一对应的关系,啥叫一一对应啊?你再开口这个公式,这是一个代数公式,但它同时又对应这着一个直角三角形的几何图形,这就叫一一对应关系。说白了,解开了这个公式,虽然解的是一道代数题,但它同时也解开了一道几何题。

所以这个猜想一旦作为一个数学成就放在怀尔斯面前的时候,他突然眼前一亮,原来困扰人类几百年的费马大定理,是有可能通过模型式这个数学的独立领域,作为桥梁过渡到他自己的职业生涯非常熟悉的那个叫椭圆曲线的领域,从而反过来间接地证明费马大定理。

你看,整个思路突然开阔起来了,怀尔斯知道,自己的一生迎来了一个巨大的机会,值得去赌一把,赌赢了,从此就成为最著名的史上的数学家;赌不赢,从此一生黯淡无光。他决定赌。

他赌的方式也很有意思,他决定一个人玩。这就得说到数学家互相之间那点儿勾心斗角,因为数学家和别的领域的科学家不一样,别的领域它多少有点外在条件,可是数学家们他凭的就是纯粹的思想,所以你说平时咱们是跟同行交流还是不交流?如果不交流,获得的如切如磋、如琢如磨的这个同行的帮助就很少;可是如果一交流,万一你的哪句话点醒了对方的哪个个灵感,结果对方先把成果发表了,你何处去诉他,何处去告他?你自己比窦娥还冤。

所以怀尔斯决定,既然这个思路是通的,那我决定一个人干。所以他当时还故布疑阵,做了很多小手脚,比如说他把自己在椭圆曲线里面的很多研究的大成果给切分成一个一个的小成果,陆陆续续的发表,什么意思?就是告诉同行,我还在研究原来的课题,只不过我的才情没有那么多了,我江郎才尽了而已,我只会研究小问题了。

实际上呢,实际上他是躲进小楼成一统,从此目不窥园好几年,专门研究费马大定理。当然这个过程我们也不懂,但肯定是极其艰难。他自己在做计划的时候,曾经就认为,我至少要花三年,把椭圆曲线和模型式领域的所有的既有研究成果先复习一遍,当然后来的进展比他预想的要好,但是也足足花去了18个月,这就是复习原来的题海战术,还谈不到去解决问题。

在后来,他回想这一段研究时光的时候,怀尔斯打了个比方,他说好比解决费马大定理就是要穿过一个一个的黑屋子,首先我来到一个黑屋子,什么都看不见,我先得去摸,摸这个屋子里的所有家具,所有摆设,等摸得烂熟,对这个房间的每一个纹理都清楚的时候,我才能找到它的电灯开关,我打开电灯开关,才能知道下一个屋子的门在哪儿,打开那个门,然后进入下一个屋子,然后又开始这个过程,而且不知道什么时候是一个头。

所以就在这个痛苦的时光当中,他花了七年时间。当然了,最后如你所想,他获得了最后的成功,在1993年的时候,他信心满满,据说当时是在一个很不起眼的的一个数学的演讲当中,他起了一个跟费马大定理完全无关的一个演讲题目,然后就给大家讲我是怎么想的,怎么想的,到最后他告诉大家,这就是费马大定理,我已经把它解开了,哎呀,这是一个成功者的嘚瑟。

果然,在数学领域就炸响了一颗大炸弹,所有人都惊呼,三百多年的难题,这个怀尔斯终于就解决了。但是事情有这么顺吗?没有!因为数学界就这样,你说你解开了,验证呗,所以组织了一个专家委员会,都是顶级的数学家去验证,这一验证就验证了八个月,就是几个据说是六个数学家围绕着他反复地提问,你来给出解答,其中你的推算的过程当中一点点的小细节,大家都去严刑拷打去追问。

在八个月的时候,终于出事了,有一个非常非常小的错误,导致他那一轮多米诺骨牌突然就推不下去了,怀尔斯刚开始也没把这当个事,觉得这就是一个小错误,我稍稍修正一下,也就结束了,但是万没想到,这个错误越看越大,越看越大,实际上怀尔斯这个时候快崩溃了。

因为你想,这个多丢人哪,一个人用那么高超的姿态来宣称自己已经解决了费马大定理,而且当时像我们这些外行已经开始给他各种各样的荣誉,比如说,当时据说美国的一本杂志已经把他评为当年度最具魅力的全球25人之一,跟什么戴安娜王妃齐名,已经有一些男装品牌来请他代言了,虽然大众也不知道他在研究什么,就知道这是一个伟大的数学家,而这个时候他又突然丢脸,可能他的所有的成果都是错的,所有这是一个巨大的压力。

从1993年到1995年,他甚至已经一度坚持不下去。当然,戏剧性的时刻最后还是到来了。在某一天,他突然想到了,此前自己研究但是丢下的一个思路,他发现,如果把那个思路和现在的研究成果相结合,不仅可以解决这个小小的漏洞,而且可以让证明费马大定理的整个过程,变得异常的优美而简洁。所以怀尔斯后来自己感慨,他说那一刹那,眼泪哗哗地流下来,就觉得自己,用杜甫的那句诗,那一刻真叫说:漫卷诗书喜欲狂啊。在1995年的时候,他把这份研究成果,作为给他妻子的生日礼物,敬献给他的妻子,从此怀尔斯成为20世纪最著名的数学家。甚至是唯一著名的数学家。

好了,费马大定理的故事我们就说到这儿,你可能会追问,罗胖,今天你为啥要让我们花将近一个小时的时间,去听你侃一个你自个儿都不懂的领域的故事呢?我确实不知道你听的目的是什么,但是我知道我为什么要说。

因为我们这一代人也学过数学的好不好,但是我们当中的绝大多数人,花了人生的十二年时光,六年小学,六年中学,被数学摧残,我们只知道数学是敲开大学校门的一个敲门砖,自打上了大学之后,这个东西就被我们当做人生当中最痛苦的经验,被删除了。

我们这一代人也想呐喊,数学滚出高考好不好,但是,直到我读了《费马大定理》这本书,我才知道,原来数学是如此有魅力,它的魅力是光芒万丈,吸引那么多智力卓绝的人,把自己的生命献祭上去,整个数学史,就是一曲波澜壮阔的史诗。

这个时候我才知道数学的好,读完这本书我才知道,人类知识领域智力领域的任何丰碑,从来都不是用强烈的目的性建造出来的,它的每一块砖,每一块瓦,都是由兴趣堆积出来的,兴趣不仅导致了最后的成功,而且点亮了其中的每一块砖,每一块瓦,每一个人的生命。所以如果你有一个伟大的目标,你有一个强烈的目的性,但是你发现自己缺乏兴趣,罗胖说一句狠话:洗洗睡吧,没有兴趣,你将一事无成。

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